[No resuelto]Ejercicio 1 - 04/03/05

Sea g:\(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) continua y tal que

probar que existe \({x}_{0}\) tal que \(g({x}_{0})={x}_{0}\)

La idea que pensé es la siguiente:
Observá que \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{g(x)}{x}\eq=0\iff \forall \epsilon>0,\exists N:x\geq N\implies |\frac{g(x)}{x}|<\epsilon\). De esta definición, obtenemos que, abriendo el módulo y despejando, \(-x\epsilon<g(x)<x\epsilon\). En particular, si \(\epsilon\eq=1\), tenés \(-x<g(x)<x\)(notá que \(N>0\) estoy tomando). Luego, particularmente me interesa que para \(x>N>0,\;g(x)<x\). Estudiando el otro límite, obtengo un \(x<N'<0\) para que \(g(x)>x\). Luego, estudiando la función \(h(x)\eq=g(x)-x\), como \(g\) es continua, \(h\) también resulta continua, y existen \(a>N,b<N':h(a)\eq=g(a)-a<0\land h(b)\eq=g(b)-b>0\), por lo visto anteriormente. El teorema de Bolzano, luego, asegura que existe \(b<{x}_{0}<a\) que satisface \(h({x}_{0})\eq=0\eq=g({x}_{0})-{x}_{0}\iff g({x}_{0})\eq={x}_{0}\), como queríamos probar.
Espero haber ayudado. Saludos

miiiiil gracias!!! =)