Dejo el final de octubre de 2013 y aprovecho para consultar. Este final lo desaprobé y aun no puedo resolver el ejercicio 4 de la mejor manera y el dos b no tengo idea de cómo encararlo ya que no pude (ni puedo) encontrar el gradiente de g ¿alguna ayudita?
1- demostrar multiplicadores de lagrange
2 a) demostrar TFC
b) sea f:R-->R continua y derivable mayor que cero para todo t, y G(x,y)=integralentre y^2 y x^3 de f(t)dt. demostrar que G(x,y) es diferenciable, calcular plano tangente en (0,0) y decir si tiene un extremo en (0,0).
F(xy)= x^2 + y^2 - z^2. calcular plano tangente a la superficie de nivel f(xy)=0 y mostrar que (0,0,0) esta en el. Mostrar que el plano tangente existe para cualquier punto del cono menos el (0,0,0)
sea g(x,y) continua, g(0,0)=0 y f(x,y)=x^ay^bg(x,y) calcular las derivadas parciales y demostrar que f(x,y) es diferenciable en el (0,0) si a+b>=1
Te recuerdo que es obligatorio escribir las expresiones matemáticas usando \(\LaTeX\). Si no sabés usarlo, tenemos un mini tutorial en la sección de reglas y anuncios.
Una pregunta, para el 2)b), puedo decir que como la funcion es positiva para todo t, al integrar en cualquier intervalo siempre voy a obtener un resultado mayor a cero? Entonces si integro con limites iguales me va a dar 0, por lo que 0 sería un mínimo.
Entonces G(0,0) = 0. Y como en G(0,0) se alcanza un mínimo, dado que la integral en cuestión como mínimo vale 0, afirmo que el gradiente de G en (0,0) es (0,0) por el teorema de Fermat? Por lo tanto el plano tangente sería el Z=0?
¿el 2b) dice: " sea \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) continua y derivable mayor que cero para todo \(t\), y \(G(x,y)=\int_{y^2}^{x^3}f(t)dt\) demostrar que \(G(x,y)\) es diferenciable, calcular plano tangente en \((0,0)\)y decir si tiene un extremo en (0,0)".? ¿ese es el enunciado o entendí cualquier cosa?
Dona escribió:
Una pregunta, para el 2)b), puedo decir que como la funcion es positiva para todo t, al integrar en cualquier intervalo siempre voy a obtener un resultado mayor a cero? Entonces si integro con limites iguales me va a dar 0, por lo que 0 sería un mínimo.
Si entendí bien el enunciado, y haces \(f(t)=1\), (por ej., que cumple las hipótesis del enunciado) entonces \(G(-1,2)=\int_{4}^{-1}dt\lneq 0\)
Si alguien me da una mano con esto se lo agradecería:
4b) Primero quiero calcular (ver si existen) las derivadas parciales de G.
Si defino \(h_1(x)=G(x,y)\) y \(h_2(y)=G(x,y)\) entonces, \(h_1'(x)=G_x(x,y)\) y \(h_2'(x)=G_y(x,y)\). Como f es continua (entonces integrable) entonces, por el TFCI, cada \(h_i\) es continua, derivable y vale \(h_1'(x)=G_x(x,y)=f(x^3)3x^2\) y \(h_2'(x)=G_y(x,y)=f(y^2)2y\)
Ahí use regla de la cadena, si \(F(x,y)=\int_{y}^{x}f(t)dt\) y \(H(x,y)=(x^3,y^2)\),
Por el TFC, existen las derivadas de F, H es claramente diferenciable, entonces existen las derivadas de G (?????)
Entonces tengo \(\nabla G(x,y)=(f(x^3)3x^2,f(y^2)2y)\). Las derivadas parciales de G son continuas (f es continua) entonces \(G\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2)\) y por lo tanto diferenciable.
El plano tangente queda
\(\Pi_{(0,0)}: z=G(0,0)-\nablaG(0,0)(x,y)=-\int_{0}^{0}f(t)dt-(0,0)*(x,y)=0\) osea \(\Pi_{(0,0)}: z=0\)
Ahora para ver que no tiene un extremo (?) me acerco por la curva (continua) \(\gamma(t)=(t,0)\).
\(Go\gamma(t)=G(t,0)=\int_{0}^{t^3}f(u)du\) evidentemente, la composición no tiene extremo de ningún tipo en \(t=0\), porque como f es siempre positiva, para cualquier \(t\gneq 0\):
\(\int_{0}^{t^3}f(u)du \gneq 0\).
En cambio si \(t\lneq 0\):
\(\int_{0}^{t^3}f(u)du=\int_{0}^{-|t|^3}f(u)du=-\int_{-|t|^3}^{0}f(u)du\lneq 0\)
Pregunta; es muuuy cualquiera esto? Y si no, estaría bien justificado (mas o menos)?
Me cuesta creerme que el TFCI me asegure la existencia de esas derivadas (la de \(F(x,y)=\int_{y}^{x}f(t)dt\))... osea, entiendo que sería dejando uno de los limites de integración fijo, variando uno solo a la vez tengo TFC para cada variable... y que esa es la idea de las derivadas parciales... pero traté de demostrar que eso valia haciendo una demo parecida a la del TFC y es un lio...
Calculá el plano tangente para cada (x,y,z) que no sea (0,0,0) y fijate que el (0,0,0) está en estos planos. Después intentá ver que en (0,0,0) no hay plano tangente (calculo que esto lo podés hacer "con las manos" haciendo unos dibujos o algo así)