\(1)\) Sea \(f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}\), \(f(x,y)=e^{xy}\) y \(S=\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2:x^3+y^3=16\rbrace\)
a)Sea \((P_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la sucesión definida \(P_n=(n^{1/3},(16-n)^{1/3}\)), probar que \(\forall\ n\in \mathbb{N},\ P_n\in S\); decidir si \((P_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge y si \((f(P_n))_{n\in\mathbb{N}}\) converge.
b)Encontrar, si existen, los máximos y mínimos absolutos de \(f|_S\).
2)\(D^*=\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2:\ (3x-2y)^2+(2x-y)^2\leq1\rbrace\)
a)Probar que el área de \(D^*\) es igual \(\pi\)
b)Encontrar todos los valores de \(a\in \mathbb{R}\) para los cuales la región \(D^*_{a}=\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2:\ (3x-2y)^2+(2x+ay)^2\leq1\rbrace\) tiene área igual a \(\pi\)
Probar Teorema Valor Medio (Lagrange) en \(\mathbb{R^n}\)
\(a)\) Para ver que \(P_n\in S\) para todo \(n\). Sea \(n\in \mathbb{N}\) y \(P_n=(n^{1/3},(16-n)^{1/3})\) y es obvio que satisface que \((n^{1/3})^3+((16-n)^{1/3})^3=16\).
\((P_n)_{n\in\mathbb{N}},\ P_n=(X_n,Y_n)\) converge sii \((X_n)_{n\in\mathbb{N}}\) y \((Y_n)_{n\in\mathbb{N}}\)convergen.
\(\lim_{n\to\infty}X_n=\lim_{n\to\infty}n^{1/3}=+\infty\) \(\Rightarrow \ \exists \ n\in \mathbb{N}\) tq \(\forall M\in \mathbb{R}_{>0}, |X_n|>M\) y \(|X_n|\leq ||P_n||\) entonces \(P_n\) no esta acotada entonces no converge.
Para ver que \((f(P_n))_{n\in\mathbb{N}}\) converge.
Calcular \(\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}n^{1/3}*(16-n)^{1/3}=-\infty\) entonces \(\lim_{n\to\infty}e^{a_n}=0\)
\(b)\) \(S\) no es compacto así que puede no alcanzar extremos absolutos. Usando \(\gamma:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R},\ \gamma(t)=((16-t^3)^{1/3},t)\), se puede componer \(fo\gamma:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) y se buscan los extremos de esa función. Si mal no recuerdo te daba un máximo cuando \(\lbrace x=y\rbrace \cap S\) y para t tendiendo a mas y menos infinito \(fo\gamma\) se acercaba al cero (sin llegar) asi que no alcanzaba un mínimo abs.
2)Acá había que usar \(T(x,y)=(u(x,y),v(x,y))=((3x-2y),(2x-y))\) que hace que la región sea el disco unitario \(D=\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2:\ u^2+v^2\leq 1\rbrace\)
justificando un poco con el teo de cambio de variables y como el jacobiano es 1, la transformación preserva áreas y te queda la integral de área (porque la composición que se hace \(foT\) es componer la función constantemente 1 con T) del disco -radio igual 1- que es \(\pi\).
Para el punto b) solo hay que pedir que el jacobiano siga siendo 1 para los valores de \(a\), osea, pedir que \(det(DT)=\pm 1\)
Esas son más o menos las ideas, lo estoy haciendo completamente de memoria así que tal vez contenga alguna mandada de pata, pero la idea central era esa.
Tengo una duda respecto al 2 o mejor dicho varias
que el jacobiano de la primera transformación sea 1 garantiza que el disco sea unitario? o sea por lo que entiendo no esta multiplicado por nada raro o alguna otra constante que afectaría a su uniteriadidad (existe esa palabra(?))... por lo tanto efectivamente el area seria pi....es así?
igualmente creo que si el primer jacobiano no seria alguna constante entonces esta mal la transformacion (me equivoco?)
Perdón si escribi algo incoherente, hace rato que no duermo [**** final]
El Jacobiano no garantiza que el Nuevo disco D sea unitario. Lo que lo garantiza es la Transformación lineal así elegida (como la eligió dxdt), dado que estas pidiendo basicamente que se cumpla \(D=\{\(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\: u^{2}+v^{2}\leq 1\}\).
Ahora si queres hacer el cambio de variables en la integral, tenes que meter el jacobiano,asi:
Donde el Jacobiano es el que regulariza todo y hace que las integrales en sus respectivas regiones te den igual.
Y como el Nuevo D es el disco unitario, y el Jacobiano da 1, el area sale que es \(\pi\).
Por cierto, el Jacobiano no necesariamente debe de ser una constante. Fijate sino el cambio a coordenadas polares, tomando \(T(r,\sigma)=(r\cos\sigma, r\sin\sigma)\), el Jacobiano de esta Transformacion es \(r\).
Pd: Al meter la Transformación lineal adentro de la integral todavia queda una integral que "hay que resolver" (sale al toque con coordenadas polares)
Una pregunta para el 1. Cuando parametrizas con la curva , y derivas la composición... No te da un único punto en donde se anula la derivada( -32^ 1/3), que no pertenece a S?
Si hablas de la parametrizacion de la curva S y te dio un punto fuera de S, entonces hay algo mal. No puede darte fuera de S porque con la composicion estas exigiendo que este dentro de S.
Lo acabo de hacer y con la parametrizacion \(y=\sqrt[3]{16-x^{3}}\), queda la composición \(f(x)=e^{x(\sqrt[3]{16-x^{3}})}\).
Como queremos que sea igual a cero, vemos que el termino \((\sqrt[3]{16-x^{3}}-\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{(16-x^{3})^{2}}} )\) debe ser igual a cero. La solución de esta ecuacion es x=2, luego y=2.
Justamente esa es la duda. Si la funcion tiene minimo absoluto, entonces el unico punto que hallamos es el indicado. Pero ahora, como no es un comopacto, no es necesario que los alcanze. Digo, no habria que probar por definicion que ese punto es minimo absoluto?
No se muy bien a que te referís con "probar por definición" (tampoco porque mencionas a los compactos). Pero si queres probar que ese punto es minimo o maximo te conviene calcular la derivada segunda y evaluarla en el punto hallado.
Justamente esa es la duda. Si la funcion tiene minimo absoluto, entonces el unico punto que hallamos es el indicado. Pero ahora, como no es un comopacto, no es necesario que los alcanze. Digo, no habria que probar por definicion que ese punto es minimo absoluto?
No estoy seguro de cual es tu duda, pero una vez que hiciste la composición, te queda una función \(fo\gamma:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) (por ejemplo, con la parametrización que uso FedericoAlbornoz), es decir, de los reales en los reales. Por lo tanto el ejercicio se reduce a encontrar máximos y mínimos de una función real . Buscas todos los puntos críticos (donde se anula la derivada o donde no existe). Los evaluás en la composición y además te fijas el límite para \(\lim_{x\to\infty}e^{x(\sqrt[3]{16-x^{3}})}\) y \(\lim_{x\to - \infty}e^{x(\sqrt[3]{16-x^{3}})}\) (si corresponde).
Por EJEMPLO, suponete que la composición esta bien definida en todo |R al igual que su derivada, que se anula en un punto \(x_o\). Evaluas y te da \(g(x_0)= c > 0\), calculas esos límites y te da que ambos dan "menos infinito". Entonces ese punto te da un máximo absoluto y no existe un mínimo absoluto, ya que "la función toma valores tan negativos como quieras".
En cambio, si uno de esos límites te da, por ejemplo, \(\lim_{x\to + \infty}g(x)= d > c\) y el otro te da menos infinito. Entonces no tenes el máximo, ya que la imágen de g está acotada superiormente por d, pero nunca alcanza ese valor. (no existe \(x_0\) en los reales tal que \(g(x_0)= d\)).
Decia que F esta restringida a S, que no es compacto entonces no necesariamente debe alcanzarlos.
Ahora me cierra mas creo. A lo que iba era, una vez hallado el punto critico, unico, de la composicion, faltaria ver algo mas. Por ejemplo, probar que f(p) < f(x) para todo x en R. A eso le llamaba definicion. La forma que vos decis,dxdt, vendria a intentar justificar justamente esto utilizando los limites al infinito(por lo que entendi).
Lo que me hizo dudar fue "el punto hallado es unico, entonces seria absoluto". ¿Que garantiza eso ,si no estamos sobre un compacto, y sin haber probado nada de lo anterior( definicion o limite).
No, que sea el unico punto hallado no lo hace absoluto (ahora que lo pienso bien (porque podria ser uno relativo)).
Entonces para ver que sea absoluto tendrias que ver que \(f(x)\leq f(2)\) en la composición.
Quedaria \(e^{x \sqrt[3]{16-x^{3}}}\leq e^{2 \sqrt[3]{16-2^{3}}}\), entonces basta demostrar que \(x \sqrt[3]{16-x^{3}}\leq 2 \sqrt[3]{16-2^{3}}\).
Me puse a pensar una manera de ver esto y se me ocurrio lo siguiente:
$$x \sqrt[3]{16-x^{3}}\leq 4$$
\(x^{3}(16-x^{3})\leq 4^{3}=64\) (A)
Cambiando de variables \(x^{3}=y\), tenemos:
$$y(16-y)\leq 64$$
$$-y^{2}+16y -64 \leq 0$$
Luego la funcion \(g(y)=-y^{2}+16y -64\) alcanza el maximo en \(y=8\) (aca si estamos seguros que es un maximo absoluto porque es una funcion cuadratica con el termino principal negativo), y para cualquier "y" es \(g(y)\leq g(8)\). Esto ultimo nos asegura que vale la desigualdad (A) para todo x, ya que: