Les dejo el final que tomaron ayer. Bastante copado, aunque un poco más complicado que las dos fechas anteriores.
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Sea \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) de clase \(C^1\) tal que \(f(3t^3+2, e^{t^2}) = (3,6), \forall t \in \mathbb{R}\). Probar que \(Df(2,1)\) no es inversible.
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Sea \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\) una función diferenciable en \(P\in\mathbb{R}^2\) y sea \(v\in\matbb{R}^2\) tal que \(||v||=1\). Probar que existe la derivada direccional \(f_v(P)\) y es igual a \(<\nabla f(P), v>\). Deducir que el gradiente es la dirección de máximo crecimiento.
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Enunciar y probar el Teorema de Bolzano para \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\)
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Sean \(f,g:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) dos transformaciones lineales tales que los vectores \(\nabla f(x,y)\) y \(\nabla g(x,y)\) son linealmente independientes. Sea \(D\) el dominio limitado por las rectas \(f(x,y)=3\), \(f(x,y)=7\), \(g(x,y)=-2\) y \(g(x,y)=2\). Calcular: