Pedido Final 30/07/2013

Se que todavia ni empezo el final, pero lo dejo pedido. Gracias

Ahí te va

Gracias. Que usaste para el 3?

Yo no lo rendí, lo saqué del grupo de facebook 'Lo pibe de exactas'. :p

Si lo ves de manera geometrica se ve bien. No lo puedo hacer de analitica alguno tiene idea de como hacerlo. Otra cosa, la parte b no se lee bien que dice.

En el b) te dice que A esta incluido estrictamente en B, implica que el inf(A) < inf(B)

Mi intento de resolución para el 3.
3 a) Verdadero. Primero afirmemos un par de cosas: Como \(A \subseteq B\) tenemos que para todo \(x \in A\) entonces \(x \in B\). Además el \(inf(B) \leq x\) para todo x en \(A\) (definicion de infimo). También sabemos que (al igual que el supremo) \(inf(B)\) (\(inf (A)\) también), tiene la propiedad que para todo \(\varepsilon >0\) existe un \(b \in B\) (respectivamente a \(A\)) tal que \(b < inf(B)+\varepsilon\), con todo esto dicho probemos que es verdadero.
Dem: Supongamos que no pasa la desigualdad, es decir supongamos que \(inf(A) < inf(B)\). Luego solo hace falta considerar \(\varepsilon = inf(B) - inf(A)\) el cual es mayor que \(0\), y ahora sabemos que existe un elemento \(a \in A\) (pertenece a \(B\) también) que cumple que :
\(a < inf(A) + \varepsilon\) pero esto es lo mismo que \(a < inf(A) + inf(B) - inf(A) = inf(B)\) Lo cual es una contradicción ya que \(a \in B\) e \(inf(B)\) es infimo ( y por lo tanto cota inferior). Entonces vale \(inf(B) \leq inf(A)\)

b) Falso. Considerar A = {1}, B = {1,2}

el 1 alguien tiene idea de como hacerlo? yo trate de sacar una funcion g implicita tal que g(x)=f(x,1) y de usar Rolle , pero no estoy seguro de como llegar a probar que g'(n)=0, puedo hallar que existen extremos en algun punto de los intervalos con rolle, pero de ahi no se como seguir

Probá por separado que ambas derivadas parciales son 0. Una es fácil y la otra requiere un poco de análisis en 1 variable.

Buenas Quimey, si planteo derivadas parciales por definicion ambos limites me dan 0/0, por donde es la cosa entonces, alguna data ? gracias

Escribí lo que hiciste (usando \(\LaTeX\) obvio!) y te tiro alguna pista.

Propongo una solución distinta para el 1).

Supongamos que el gradiente de F en P es distinto de cero y supongamos, sin perder generalidad, que la derivada parcial de F respecto de y en P es distinta de cero (el caso de la derivada respecto de x distinto de cero es análogo).
Luego, como F es C1 estamos en condiciones de aplicar el Teorema de la Función Implícita. Por este teorema tenemos entonces que existe un intervalo U incluido en R y una función derivable G(x):U -> R tal que F(x,G(x))=0 en un entorno del punto P. Entonces existe un punto Q en un entorno de P tal que Q no pertenece a A y F(Q)= 0, lo que es un absurdo, pues F(P)= 0 sii P pertenece a A.
El absurdo provino de suponer que el gradiente de F en P era distinto de cero. Luego, debe ser que el gradiente de F en P es cero para todo P en A.

no estoy pudiendo con el 1), puedo aplicar el teorema de función implícita si A no es una curva ni una superficie de nivel, sino un conjunto finito de puntos separados??

Intentá probar que los puntos de A son máximos o minimos...