Tema
Chicos les dejo el link al final de analisis I, del 11/3/2011
http://cms.dm.uba.ar/academico/materias ... zo2011.pdf
tengo dudas en el 4 y 5. Por favor si alguien tiene alguna idea y me las tira les agradeceria!!
El 5 es nada mas para ver si el resultado me dio raro a mi sola o a alguien mas tmb...
y el 4, porque lo pense de una forma que puedo "contar" a modo de cuentito, pero no se como expresarlo para que quede como demostracion..
Graciass por su ayudaa 🙂
Hola. Te dejo unas ideas.
Para el 4)
Suponete que \(\bigtriangledown f({p}_{1}) \neq (0,0)\), entonces podés suponer que \({f}_{y}({p}_{1}) \neq 0\). Luego aplicás el teorema de la función implícita y encontrás un entorno abierto (en donde siempre hay infinitos puntos) en el cual la función se anula, lo cual es absurdo porque la hipótesis es que hay solo 2 puntos.
Para el 5)
Usar el teorema de cambio de variable pasando a coordenadas polares.
Saludos.
Otra manera para ver que el grad en p es cero (que me confirmaron que está bien) es:
-f resulta continua en todo R2
Si consideramos R2 menos p1 y p2, resulta arcoconexo.
Entonces, supongamos que existe p4/ f(p4)>0 y p3/ f(p3)<0. Como R2-p1yp2 es arcoconexo, podemos fabricar una curva definida alfa(t): [0,1]--->R2 menos p1 y p2 con alfa(0)=p3 y alfa(1)=p4
Pero como f era continua, componer f(alfa(t)) resulta continua y se tiene que f(alfa(0))<0 y f(alfa(1))>0. Entonces, por bolzano, existe c que pertenece al abierto (0,1)/ f(alfa(c))=0. Pero se llega a absurdo, pues f se anulaba sólo en dos puntos y alfa(c) no es ninguno de ellos.
Entonces resulta que la función es mayor o igual que cero para todo R2 o menor o igual que cero para todo R2.
Pero como p1 y p2 son los únicos puntos donde f se anula, por lo tanto son extremos globales de la función (máximos o mínimos). Y ahí, escribiría un cachito mejor esta última parte, pero la idea es que Fermat dice que si son extremos y f diferenciable, el gradiente se anula en p1 y p2.
Es un poco más larga, pero bueno, siempre que puedo le escapo a implícita XD
Este es el ejercicio 3.
No entiendo qué pasa con el lamda negativo... :S
¡Agradezco a quien me ayude! 🙂
Vos sabés que \({f}_{y}(1,0)=0\). Suponete que \({f}_{x}(1,0)<0\). Agarrá una hoja, dibujá el círculo unitario y hacé una flechita que salga del (1,0) y apunte hacia el (0,0) (no importa cuán largo sea en un principio, o sea su norma) ¿Qué es esto? Esto mismo es el vector \(\nabla f(1,0) = ({f}_{x}(1,0),0)\), que supuestamente apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función. Ahora, si apunta hacia el (0,0) te estaría diciendo que tu función crece si te vas corriendo al origen, pero teníamos un máximo absoluto en (1,0), entonces esto no puede pasar, porque sino habría puntos en el interior del disco unitario donde la función sería igual o más grande.
En base a eso podés responder qué pasa con el lamda negativo.
Saludos.
¿Alguien me tira alguna pista con el 2? No sé cómo probar que la derivada existe para cualquier curva.
Para el 2 escribí \(\alpha (t)=({\alpha}_{1}(t),{\alpha}_{2}(t))\), entonces \({\alpha}_{1}, {\alpha}_{2}\) son \({C}^{1}\).
Hacé la composición \(fo\alpha\) y te tiene que quedar algo así cuando \(t\neq 0\):
Después usando que \(\alpha (0) = (1,0)\), te queda que:
Fijate si te sale la derivada de eso en 0 y cualquier cosa nos contás (Hacela por definición)
Saludos.
Muchas gracias! El límite me dio cero, y como la derivada con respecto a "y" no existe, entonces no es diferenciable en el punto.
el 3 se puede hacer mas facil haciendo la derivada con respecto a x por cociente incremental. Es importante que sea acercándose por izquierda para estar dentro del disco.
Haciendo el limite te queda
y como \(f(1,0)\geq f(1+h,0)\), porque \(f(1,0)\) es maximo absoluto, entonces el numerador queda negativo y el denominador tambien porque h se acerca por izquierda. Por lo tanto la derivada es positiva.
en el 2 no me quedo claro como justificar que la derivada de eso da 0. Hice lo que dijo Kevin por definición pero no se bien como seguir, podrian explicarlo un poco mejor?
Gracias
Buenas, alguien sería tan amable de decirme como se justificaría bien el 1b)
Osea, si f no fuera continua, el resultado es falso, porque podría haber UN x, donde f sea distinta de cero pero, por ser un solo punto, no tendría medida (es un conjunto de medida cero). Pero como f es continua, si es distinta de cero, por ej, positiva, existe un entorno donde es estrictamente positiva. Ese entorno no tiene medida cero, entonces como la integral existe; existen y son iguales los límites de las sumas parciales y usando la definición habría unos intervalitos cerrados donde \(f>o\) con lo cual la integral inferior (resp. superior) darían distinta de cero....
Pero no sabría como escribir (justificar) eso sobre todo lo de
habría unos intervalitos cerrados donde \(f>o\) con lo cual......
Y otra preguntilla con respecto al 2. Tal vez ya esté medio quemado, pero ¿porqué no existe
\(f_y(1,0)\)? (eso dijeron por ahí)