Paso el final que hice ayer, era pasable como el del 22
Demostrar teorema de weierstrass
Demostrar teorema de Lagrange en R2
dada G(x,y,z)=xyz y S= {(x,y,z) C R3 / x>=0, y>=0, z>=0, x+y+z=1} , hallar el valor maximo que toma g en S
f:R2-->R continua, c y d constantes positivas/ c<f(x,y)<d para todo (x,y). Hallar alfa para el cual:
(perdon no se usar latex) limite SSD f(x,y).(x^2+y^2)^alfa dx dy converge
R->inf
(SSD, es integral doble en D, con D= BR(0)-B1(0) bola radio R centrada en cero y bola radio 1 centrada en cero)
Buenas, para el 3 tire multiplicadores de Lagrange y no llegue a nada, quise parametrizar S pero el gráfico es un plano inclinado y no supe como hacerlo, alguno tiene otra idea?
En el 4 no entiendo bien el area D, sta definida por la diferencia de 2 Bolas? ahora si es asi, no entiendo cual es el valor de R (si es que lo tiene), que quiere decir R->inf?
Buenas, para el 3 tire multiplicadores de Lagrange y no llegue a nada, quise parametrizar S pero el gráfico es un plano inclinado y no supe como hacerlo, alguno tiene otra idea?
En el 4 no entiendo bien el area D, sta definida por la diferencia de 2 Bolas? ahora si es asi, no entiendo cual es el valor de R (si es que lo tiene), que quiere decir R->inf?
en el 3 tenes que usar multiplicadores y tenes que suponer si z distinto de cero calculas y te dan dos puntos, uno (0,0,1) y el otro (1/3,1/3,1/3) , si supones x e y distinto de cero llegas a los otros canonicos y el de 1/3 que es el que te da el valor maximo
en el cuatro el dominio es la resta de dos bolas, la mayor con radio R y la menor con radio 1. no te dan el valor de R, solo que en la integral R tiende a infinito (osea R->inf, no se usar latex XD)
Muchachos, creo que la idea del último es pasarlo a una variable y hacer tipo integral impropia, pero les hago una pregunta... cómo lo pasan a una variable? (perdón si suena muy gil la pregunta, pero suena a lo que es).
Es decir, se me ocurre aplicar cambio de variable, total el angulo siempre va a estar entre 0 y dos pi, pero no puede resultar así de fácil, hay algo que no estoy viendo.
Es decir, se me ocurre aplicar cambio de variable, total el angulo siempre va a estar entre 0 y dos pi, pero no puede resultar así de fácil, hay algo que no estoy viendo.
Buenas yo tire cambio de variables a coordenadas polares, quedandome la integral como:
$$\int_0^{2\Pi}\int_0^1 f(r cos\theta,r sen\theta){r}^{2\alpha+1} dr d \theta$$
Luego esta funcion : \(f(r cos\theta,r sen\theta){r}^{2\alpha+1}\) es continua por enunciado y positiva por lo que puedo usar el criterio de comparacion de integrales indefinidas.
Para eso planteo G(r)=\(f(r cos\theta,r sen\theta){r}^{2\alpha+1}\) y F(r)=\(f(r cos(\theta),r sen(\theta))\)
La integral presenta problema cuando \(r \rigtharrow \infty\) por ende estudio el siguiente limite que esta bien definido:
Ahora bien este limite converge cuando \(2*\alpha+1>1\) (criterio de comparacion)
Luego esto pasa cuando \(\alpha>0\), con esos valores de \(\alpha\) aseguramos que la integral converge.
PD: la idea la saque de otro final, si algo no esta justificado bien o directamente el argumento es inválido avisen! que estamos para aprender aca! Espero que sirva.
Che con Weierstrass te referís a máximo, mínimo y acotado en un cerrado, no?
PD: y la bola de radio 1 en (0,0), es abierta, no?
si el teo de weierstras tenes que probar que como f continua en A y A compacto => F esta acotado en A y alcanza maximo y minimo, esas dos cosas tenes que probar.
lo de la bola no sabria decirte, creo que si por alguna propiedad de bolas, tengo mis dudas.
lo del punto 4 al principio pense usar el criterio del cociente pero luego acote directamente , como f esta entre dos constantes positivas y (x^2+y^2)^alfa siempre es positivo entonces lo que hago es acotar la integral por los dos lados (osea trato de sacarme f por las cotas)
si lo haces por la derecha te queda d.(x^2+y^2)^alfa (osea la integral del ejercicio menor a eso) entonces despues hago un cambio de variable sobre la cota , y queda d. r^2alfa+1 y luego cuando integras es d.r^2alfa+2 / r^2alfa+2 entonces 2alfa+2<0 => alfa<-1 despues hay q hacer la otra cota (segun el que me corrigio estaba bien este procedimiento)
(pd, no se usar latex, trato de ser entendible segun lo que hice)
Claro, yo pensé más o menos lo mismo que Metin. No me avivé que también había que acotar por abajo, pero pensaba exactamente eso. Entonces dsps lo integrás de con 1<=ro<=r y entre 0 y dos pi, no? Pensé que no estaba del todo bien, no sé por qué XD
Metin, una pregunta, si x^2+y^2 es siempre mayor que cero para todo alfa, no habría, me parece, que directamente tomar cota superior sabiendo que la integral tomaría el limite al infinito, solo hay que ver si converge, y, tomando al superior, estoy en todo caso, tomando una cota superior de la función entera adentro de la integral? Me queda esa duda, por qué carajo pusieron f>c jajaja
Metin, una pregunta, si x^2+y^2 es siempre mayor que cero para todo alfa, no habría, me parece, que directamente tomar cota superior sabiendo que la integral tomaría el limite al infinito, solo hay que ver si converge, y, tomando al superior, estoy en todo caso, tomando una cota superior de la función entera adentro de la integral? Me queda esa duda, por qué carajo pusieron f>c jajaja
Incluso esto no pasa con toda función?
Creo que pusieron esa cota inferior para mostrar que f es siempre positiva, así la podes acotar
Claro, yo pensé más o menos lo mismo que Metin. No me avivé que también había que acotar por abajo, pero pensaba exactamente eso. Entonces dsps lo integrás de con 1<=ro<=r y entre 0 y dos pi, no? Pensé que no estaba del todo bien, no sé por qué XD
yo arriesge lo mismo y me lo tomaron bien, asi que era ese el camino parece.
Babieca escribió:
Metin, una pregunta, si x^2+y^2 es siempre mayor que cero para todo alfa, no habría, me parece, que directamente tomar cota superior sabiendo que la integral tomaría el limite al infinito, solo hay que ver si converge, y, tomando al superior, estoy en todo caso, tomando una cota superior de la función entera adentro de la integral? Me queda esa duda, por qué carajo pusieron f>c jajaja
Incluso esto no pasa con toda función?
todavia no se para que sirve esa cota, yo solo use la superior y llego a alfa<-1 pero tambien me dijo el profe que faltaba la otra y te daba alfa >= 1 (no se si era mas o menos uno XD)