[PEDIDO] Final 22/02/2013

Buenas, estoy preparandome para el final de analisis y quería saber si alguno podía postear el que tomaron el viernes pasado, si alguien tiene algun conocido que rindio y lo pueda poner aca.
Muchas gracias.
saludos

me sumo al pedido

1. f es una funcion C1 tal que f:K en R, K compacto. Mostrar que f alcanza su maximo y su minimo en K.
2. Sean f y g C2 tal que f(p)=g(p) y los gradientes de f y g en p son iguales. Probar que
   f(x) - g(x) dividido la norma de (x - p) tiende a 0 cuando x tiende a p.
3. Sea f C2 tal que su Hessiano esta definido negativo, sea p punto critico. Probar que p es maximo local absoluto de f.
4. Sea ( (a,b)x(c,d) ) un conjunto linealmente independiente. Sean f y g de R2 en R
   f(xy) = ax + by
   g(xy) = cx + dy
   Sea D el conjunto delimitado por las rectas f(xy)=6, f(xy)=1, g(xy)=3, g(xy)=-3
   Calcular la integral doble sobre D de g(xy).sen(f(xy))

El primero es el teorema de Weiestrass, ahora alguna punta para el 2 y el 3 y el 4? 🙁

Pd: este final fue tomado por Perrucci, Bonder, Zilber y Duran?

Mirá, para hacer el tres podés sacar al demostración de este resumen: http://www.cubawiki.com.ar/images/8/81/ ... -final.pdf

Y en el 4 yo lo qeu hice fue ver que puedo crear una T (x,y): R2--->R2 / T=(f,g). Ahí podes usar el teorema de cambio de variables tal que u=f y v=g sin olvidarse del determinante de T^-1. Lo hice medio rápido y capaz mal porque todavía no estoy afilado con integrales.

El 2 todavía no lo leí bien, después edito.

PD: perdón por el Latex :/

Para el 2)
Considerar la función \(h(x)=f(x)-g(x)\) y estudiar si es diferenciable en \(p\).

Babieca escribió:

Mirá, para hacer el tres podés sacar al demostración de este resumen: http://www.cubawiki.com.ar/images/8/81/ ... -final.pdf

Y en el 4 yo lo qeu hice fue ver que puedo crear una T (x,y): R2--->R2 / T=(f,g). Ahí podes usar el teorema de cambio de variables tal que u=f y v=g sin olvidarse del determinante de T^-1. Lo hice medio rápido y capaz mal porque todavía no estoy afilado con integrales.

El 2 todavía no lo leí bien, después edito.

PD: perdón por el Latex :/

Gracias, si tambien esta en los apuntes de Larrotonda, bastante fea la demo...
para el 4 fue lo primero que pense, usar cambio de variables, pero al definir T, no sabia que poner como u y v, voy intentar hacerlo, gracias de nuevo!

Editado 1 vez.

Kevin2501 escribió:

Para el 2)
Considerar la función \(h(x)=f(x)-g(x)\) y estudiar si es diferenciable en \(p\).

Gracias por la respuesta, ahora una vez que planteas el diferenciabilidad por def de h(x), para resolverlo combiene acotarlo no?

Como quieras, yo pensaba más fácil decir que \(h(x)\) es la resta de dos funciones diferenciables y por lo tanto es diferenciable. Si querés podés probarlo por definición y usar los delta que te dan \(f\) y \(g\).

\(\frac{f(x) - g(x) + f(p) + \langle \bigtriangledown g, (x-p) \rangle - g(p) - \langle \bigtriangledown f, (x-p) \rangle}{||x-p||} =\) <---- Aca uso que \(f(p) = g(p) ~\land ~\bigtriangledown f=\bigtriangledown g\)

\(\frac{f(x) -f(p) \langle \bigtriangledown f, (x-p) \rangle}{||x-p||} - (\frac{g(x) - g(p)\langle \bigtriangledown g, (x-p) \rangle}{||x-p||})\)

Y lo ultimo vale por un teorema que dice que \(C^1 \rightArrow\) Diferenciable. Por favor alguno que se cope y lo revise

sabri escribió:

1. f es una funcion C1 tal que f:K en R, K compacto. Mostrar que f alcanza su maximo y su minimo en K.
2. Sean f y g C2 tal que f(p)=g(p) y los gradientes de f y g en p son iguales. Probar que
   f(x) - g(x) dividido la norma de (x - p) tiende a 0 cuando x tiende a p.
3. Sea f C2 tal que su Hessiano esta definido negativo, sea p punto critico. Probar que p es maximo local absoluto de f.
4. Sea ( (a,b)x(c,d) ) un conjunto linealmente independiente. Sean f y g de R2 en R
   f(xy) = ax + by
   g(xy) = cx + dy
   Sea D el conjunto delimitado por las rectas f(xy)=6, f(xy)=1, g(xy)=3, g(xy)=-3
   Calcular la integral doble sobre D de g(xy).sen(f(xy))

gracias sabri, me ayudo mucho!
era pasable este final
el 1 y 3 de libro lo sacas.
el 2 lo pense como ragatsi, solo que antes de eso propuse un epsilon y delta y suponia que el limite era cero y llegaba a eso.
el 4 es usar teorema de cambio de variable y para lo unico que "molesta" lo de Li es que en el jacobiano te quedan los a,b,c,d en la matriz y como sabes que son Li el determinante es distinto de cero, luego haces las cuentas normalmente, en el cambio de variable llamas u=x + by y v=cx + dy haces la transformacion inversa y luego sale

Metin escribió:

gracias sabri, me ayudo mucho!
era pasable este final
el 1 y 3 de libro lo sacas.
el 2 lo pense como ragatsi, solo que antes de eso propuse un epsilon y delta y suponia que el limite era cero y llegaba a eso.
el 4 es usar teorema de cambio de variable y para lo unico que "molesta" lo de Li es que en el jacobiano te quedan los a,b,c,d en la matriz y como sabes que son Li el determinante es distinto de cero, luego haces las cuentas normalmente, en el cambio de variable llamas u=x + by y v=cx + dy haces la transformacion inversa y luego sale

Una consulta sobre el 4 xq tenes que calcular T^-1? me perdi en esa parte osea como te queda planteado concretamente el cambio?

marto1689 escribió:

Metin escribió:

gracias sabri, me ayudo mucho!
era pasable este final
el 1 y 3 de libro lo sacas.
el 2 lo pense como ragatsi, solo que antes de eso propuse un epsilon y delta y suponia que el limite era cero y llegaba a eso.
el 4 es usar teorema de cambio de variable y para lo unico que "molesta" lo de Li es que en el jacobiano te quedan los a,b,c,d en la matriz y como sabes que son Li el determinante es distinto de cero, luego haces las cuentas normalmente, en el cambio de variable llamas u=ax + by y v=cx + dy haces la transformacion inversa y luego sale

Una consulta sobre el 4 xq tenes que calcular T^-1? me perdi en esa parte osea como te queda planteado concretamente el cambio?

porque T^-1(x,y)= (ax + by ; cx + dy) = (u,v)
el T manda dominios uv a xy. bah asi me enseñaron. es un como un problema de sacar el volumen de un paralelogramo delimitado por rectas, en los segundos parciales suelen tomarlos aveces y es por esto que siempre se confunden despues en el jacobiano que tenes que hacer 1/jacobiantoT^-1 = jacobianoT ... sino tenes que buscar el x e y en funcion de u y v pero ahi tendrias que suponer que a o b o c o d son distintos de cero y se hace medio largo

Metin escribió:

marto1689 escribió:

Metin escribió:

gracias sabri, me ayudo mucho!
era pasable este final
el 1 y 3 de libro lo sacas.
el 2 lo pense como ragatsi, solo que antes de eso propuse un epsilon y delta y suponia que el limite era cero y llegaba a eso.
el 4 es usar teorema de cambio de variable y para lo unico que "molesta" lo de Li es que en el jacobiano te quedan los a,b,c,d en la matriz y como sabes que son Li el determinante es distinto de cero, luego haces las cuentas normalmente, en el cambio de variable llamas u=ax + by y v=cx + dy haces la transformacion inversa y luego sale

Una consulta sobre el 4 xq tenes que calcular T^-1? me perdi en esa parte osea como te queda planteado concretamente el cambio?

porque T^-1(x,y)= (ax + by ; cx + dy) = (u,v)
el T manda dominios uv a xy. bah asi me enseñaron. es un como un problema de sacar el volumen de un paralelogramo delimitado por rectas, en los segundos parciales suelen tomarlos aveces y es por esto que siempre se confunden despues en el jacobiano que tenes que hacer 1/jacobiantoT^-1 = jacobianoT ... sino tenes que buscar el x e y en funcion de u y v pero ahi tendrias que suponer que a o b o c o d son distintos de cero y se hace medio largo

Ok entiendo lo que decis, te queda planteada la siguiente integral despues de aplcar el cambio que mencionas:

\(\int_1^6\int_{-3}^3 v.sen(u).(ad-bc) dv du\)?

queda esa integral pero el jacobiano es 1/(ad-bc) como es li es distinto de cero y no hay problema. porque JbT=1/JbT^-1

Muchachos, en el 2 lo que hice fue hacer aparecer cosas, a ver si está bien:

qvq módulo ((f(x)-g(x))/norma)---->0 cuando x--->p

(f(x)-g(x))/norma = ((f(x)-g(p)-gradg(p)(X-P) -g(x)+g(p)+gradg(p)(X-P))/norma) desigualdad triangular
((f(x)-gradg(P)(X-P)-g(p))/norma) +((g(x)-gradg(p)(X-P)-g(p))/norma)
Por hipótesis:
gradg(P)=gradf(P)
g(P)=f(P)
Ambas de clase C2==> g y f diferenciables en P
Ambas expresiones tienden a 0, pruebo la desigualdad.

Será?

Fe de erratas: donde aparecen P y X imagínenlos en mayúsculas jejeje. Esto de no saber el látex nos complica a varios 😛

Ok, hice lo mismo que Ragatsi, me acabo de dar cuenta. Pero muy prolijo lo de él. Muy bien 10.