Este final es de hoy, 28/12/12 en la mesa de Perrucci, Bonder, Zilber y Duran.
1.Sea \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) una función diferenciable y \(v \in \mathbb{R}^2\) con \(v\) un vector normalizado, \(\forall P \in \mathbb{R}^2\) existe la derivada direccional de \(f\) en la dirección \(v\). Probar que es igual a \(< \nabla f(P),v>\)
2.Sean \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) y \(g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) funciones de clase \(C^1\) tal que \(g(1,0)=0\), \(\nabla g(1,0)=(2,1)\) y \(f(x,y)=g(x^2 y+e^x,x^2+x \siny)\)
Hallar la recta tangente a la curva \(C=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : f(x,y)=0 \}\) en el punto \((0,\pi)\)
3.Sea \(C=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq 0, y^2=x^2-\frac{x^3}{3} \}\) Decidir si la función \(x+y\) alcanza un mínimo en \(C\), y en caso afirmativo, hallarlo.
4.Sea \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) una función continua. Probar que \(f\) es integrable.
Perdón que esta echo con Word, espero que les sirva. Saludos!
Hola! Disculpá que te moleste con una consulta. En el ejercicio:
2.Sean \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) y \(g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) funciones de clase \(C^1\) tal que
\(g(1,0)=0\), \(\nabla g(1,0)=(2,1)\) y \(f(x,y)=g(x^2 y+e^x,x^2+x \siny)\)
Hallar la recta tangente a la curva \(C=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : f(x,y)=0\}\) en el punto \((0,\pi)\)
¿Es posible que, en vez de pedir la recta tangente, se pidiera el plano tangente a la superficie? (ya que la recta tangente en un punto, por más que te den un punto, necesitás una dirección también para tener un vector tangente y así definir la recta). Muchísimas gracias!
Ojo Nico, que lo que te piden es la recta tangente a un conjunto de nivel de \(f\), como \(f\) va de \(\mathbb{R}^2\) a \(\mathbb{R}\), un conjunto de nivel de \(f\) es una curva en el plano. Está bien que te pidan una recta tangente.
Mira yo lo que hice en el examen fue tomar una función \(h:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) tal que \(f(x,y)=g(h(x,y))\), \(h\) es de clase \(C^1\) porque \(f\) es de clase \(C^1\) y \(g\) también y por composición de funciones \(h\) es de clase \(C^1\), se puede derivar.
para la recta tangente primero evalué en el punto \((0,\pi)\) o sea que \(f(0,\pi)=g(h(0,\pi))=g(1,0)=0\)
y luego saque el gradiente de \(f\) por regla de la cadena de composicion de funciones,
$$Df(x,y)=Dg(h(x,y))Dh(x,y)$$
con \(Dg(h(0,\pi))=Dg(1,0)=(2,1)\)
me quedó, \(Df(0,\pi)= (2,0)\)
entonces la recta tangente quedo \((2,1) - <(2,0),(x-0,y-pi)>=2-2x\) bueno y aca veo que en el examen me equivoque porque no sume jaaaaaaaaaaaa en el examen puse solo \(2x\)
pero creo que la idea del ejercicio esta bien, igual aprobe, pero que gila soy que no se sumar un vector
saludos
Mira yo lo que hice en el examen fue tomar una función \(h:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) tal que \(f(x,y)=g(h(x,y))\), \(h\) es de clase \(C^1\) porque \(f\) es de clase \(C^1\) y \(g\) también y por composición de funciones \(h\) es de clase \(C^1\), se puede derivar.
Lo que tenés ahí es que \(f=goh\), o sea, si usas el argumento "composición de \(C^1\) es \(C^1\)" te serviría para probar que si \(h\) y \(g\) son \(C^1\) entonces \(f\) es \(C^1\) (que no es el caso de ejercicio)
\(h\) es \(C^1\) porque \(h(x,y)=(x^2y+e^x,x^2+x)\) y cada "coordenada" es \(C^1\).
Uh gracias! Entonces eso es algo mas que hice mal! Pensé que me había sacado mejor nota, pero ahora que veo que ya tuve 2 errores en un ejercicio que suponía que estaba bien, justifica la nota que me pusieron! Igual la semana que viene iré a buscar mi examen y probablemente encuentre muchos errores mas! Gracias de nuevo porque sigo aprendiendo! Saludos! =)
Buenas,
Hay algo que no me termina de cerrar con el tema de la recta tangente a la curva... osea una curva es una funcion que va de un intervalo a los reales o a R^2, y aca va todo de R^2 en R.
Despues, si fuera que es una recta tangente, queda asi?
(3,0) . (x ; y - pi) + (2,1)
PD: Todavia no se usar los simbolitos igual creo que se entiende jaaj
Una curva \(C \subset {\mathbb{R}}^{n}\) es un conjunto de puntos en el espacio que puede describirse mediante un parámetro que varía en forma continua en un intervalo de la recta.
Es decir, \(C \subset {\mathbb{R}}^{n}\) es una curva si existe un intervalo \(I=[a;b] \subset \mathbb{R}\) y funciones \({x}_{1},...,{x}_{n}:I \rightarrow \mathbb{R}\) tales que \(P \in C\) sí y solo sí existe \(t \in I\) tal que \(({x}_{1}(t),...,{x}_{n}(t))=P\).
(esta definición adaptada a \({\mathbb{R}}^{n}\) es la que está en el apunte de curvas de Gabriel Acosta y Noemi Wolanski de Análisis II (M), pero es muy parecida a la de wikipedia y otras páginas)
Veamos el enunciado del ejercicio:
Libertad escribió:
2.Sean \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) y \(g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) funciones de clase \(C^1\) tal que \(g(1,0)=0\), \(\nabla g(1,0)=(2,1)\) y \(f(x,y)=g(x^2 y+e^x,x^2+x \siny)\)
Hallar la recta tangente a la curva \(C=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : f(x,y)=0 \}\) en el punto \((0,\pi)\)
Como la función \(f\) va de \(\mathbb{R}^2\) a \(\mathbb{R}\), cuando planteamos \(f(x,y)=0\), obtenemos una curva de nivel. De esta forma, si pensamos en su gráfica, es como cortar el gráfico por el plano \(z=0\). Entonces nos queda determinada una curva: todos los puntos de la gráfica de \(f\) cuya tercer componente es \(z=0\) (notar que estoy hablando en \(\mathbb{R}^{3}\) al referirme a su gráfica. Acá lo que te piden es la misma curva pero vista desde \(\mathbb{R}^{2}\), que sería sacarle la tercer componente \(z=0\) que es constante)
Como son funciones de clase \({C}^{1}\), se puede aplicar el teorema de la función implícita en un entorno al punto \((0,\pi)\). Hacé la regla de la cadena en la función \(f\) y comprobá que se puede aplicar en un entorno a dicho punto. Suponete que despejás \(y\) en función de \(x\), te queda que \(y=y(x)\), entonces tu curva sería \(\sigma(x)=(x, y(x))\), con \(x \in A\), para algún abierto \(A \subset \mathbb{R}\) dado por el teorema.
Ahora lo único que te falta es derivar la curva y evaluar en el punto, lo cual podés hacer por el teorema. Acordate de que la derivada de una curva en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto (siempre y cuando se pueda y exista todo). Acá funciona todo porque tenés funciones \({C}^{1}\) y además podés aplicar el teorema de la función implícita.
Una vez que obtuviste la pendiente a la curva, es decir, \(D\sigma (x) = \sigma '(x) = (x', y'(x))=(1, y'(x))\), la recta tangente sería: \((0,\pi) + \lambda\sigma '(0,\pi)\), para \(\lambda\in \mathbb{R}\)
Si me equivoqué en algo avísenme. Espero haber sido claro con la idea de lo que es una curva y todo eso.
Buenisimo, me cerro un poco mas. Tengo que afinar unas cosas pero cuando pueda me siento con un poquito mas de tiempo y hago las cuentas y creo que va a dar.
Muchisimas gracias 😄
En el 3, mirá, yo usé Lagrange y encontré al (0,0) como minimo junto con toda una curva de solución, como el gradiente de la funcion es (1,1), dibujé el "mapa gradiente" y sabiendo que la relación de mayor decrecimiento está para -(1,1) y que el (0,0) es solución y borde la curva a parametrizar, entonces (0,0) es el minimo absoluto.
Osea, requirió un lindo análisis en R de la curva a parametrizar, nada muy loco
Que tal!
Una pregunta con respecto al ejercicio 2, si alguno me puede dar una mano.
No entiendo porque a Libertad le quedo esa recta, y porque seria esa la recta tangente si nisiquiera contiene al punto (0,pi) ?
La idea no seria que como el gradiente de f es perpendicular a la curva en el punto , la recta tendria que tener direccion perpendicular al gradiente y pasar por el punto (0,pi) ?? nose si se entendio lo que quise decirXD
Que tal!
Una pregunta con respecto al ejercicio 2, si alguno me puede dar una mano.
No entiendo porque a Libertad le quedo esa recta, y porque seria esa la recta tangente si nisiquiera contiene al punto (0,pi) ?
La idea no seria que como el gradiente de f es perpendicular a la curva en el punto , la recta tendria que tener direccion perpendicular al gradiente y pasar por el punto (0,pi) ?? nose si se entendio lo que quise decirXD