Buenas, estoy preparandome para el final y quería saber si alguno podía postear el final que tomaron el viernes pasado.
Muchas gracias. Saludos,
El Asiduo
Tema
[PEDIDO] Final 14/12/2012
Hola. yo rendí ayer (21/12) y te puedo decir que tomaron. Fueron cuatro ejercicios
E1 Sea \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) diferenciable, sea \(p \in \mathbb{R}^2\) probar que \(\forall v\) con \(||v||=1\) existe la derivada de \(f\) en \(p\) en la dirección de \(v\). (teorema)
E2 Sea \(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3\) y sea \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) diferenciables con \(h(t)=(t,f(t,e^{-t^2}))\) y
$${Df}_{(01)}= \left(\begin{matrix}2 & 3 \ 1 & -1\end{matrix}\right)$$
. Calcular \(h'(0)\).
E3 Sea \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) \(C^2\), \(p \in \mathbb{R}^2\) tal que \(\nabla f(p)=0\). Probar que si el hessiano de \(f\) es definido positivo entonces \(p\) es un mínimo estricto de \(f\). (teorema)
El cuarto realmente no lo copié y no me lo acuerdo. Era calcular el volumen de un cono pero no te dan números, solo relaciones matemáticas.
Editado 2 veces.
Gracias Agustín.
Paso el 2) para que se entienda la matriz diferencial de f y agrego el enunciado del 4) que me lo pasaron.
2.- Sea \(h:R\rightarrowR^3\) definida como \(h(t)=(t,f(t,e^{(-t^2)})\) y
$$Df(0,1) = \begin{bmatrix} 2 & 3\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$
4.- \(Area(D)= 4, t \in (0,1).\) Calcular el area \(t.D\), donde \(t.D = \{(t.x,t.y) | (x,y) \in D\}\).
Se define el cono C, de base D y altura 1 como \(C=\{(t.x,t.y,t) | (x,y) \in D, t \in (0,1)\}\)
Sobre el 2) no me termina de cuadrar la definición de h, parece que hay un abuso de notación, ¿el par que devuelve f es la segundo y tercer componente de h? ¿puede ser así? ¿O estoy entiendiendo cualquiera?
¿El 4) alguno lo planteo?
Muchas gracias!
Claro! la primera coordenada es \(t\). La segunda y la tercera te las da la \(f\) porque \(f\) va de \(\mathbb{R}^2\) a \(\mathbb{R}^2\). Yo lo que hice fue renombrar las cosas para trabajar mas cómodo. A \(t\) lo llamé \(s(t)=t\), a \((t,e^{-t^2})=n(t)\) entonces \(h(t)=(s(t),f(n(t)))\) y de ahí hacés regla de la cadena...yo lo veo mas fácil así y me funcionó perfectamente.
Editado 1 vez.
Que tal, esta bien hecha la regla de la cadena?.
h(t) = (t, f(t, e^(-t^2)) , llamo h(t) = (u, v), donde u = t y v = f(t,e^(-t^2)). Luego v tambien es una composicion, llamo s = t, y e^(-t^2) = w
... Seria f(s, w)
La derivada seria (?):
Dh/dt = du/dt (t) + df/ds (t,e^(-t^2)) * ds/dt + df/dw (t, e^(-t^2)) * (dw /dt)
Edit: sonara medio tonto, pero me esta costando sacar la informacion de la matriz diferencial de f.
Como se obtiene lo necesario para reemplazar en df/ds y df/dw, me parece que me marea que f tambien sea una composicion, la idea seria:
Llamo p(t) = f (t, e^(-t^2))
, ya habia nombrado a t= s y e^(-t^2) = w
Entonces seria
dp/dt = df/ds * ds/dt + df/dw *dw/dt
En t = 0 me pide entonces que saque la informacion de esa matriz diferencial, pero no logro darme cuenta de que representa cada valor de la matriz.
Seria de mucha ayuda si se brinda respuesta.
Muchas gracias.
Ejercicio 2:
\(h(t) = (t, f(t,{e}^{-{t}^{2}}))\)
$$D{f}_ {(0,1)}=\left(\begin{matrix}2 & 3 \\1 & -1\end{matrix}\right)$$
$$h(0)=(0,f(0,1))$$
\(h(t)\) es diferenciables pues es composición de funciones diferenciables.
Si pensamos \(h(t)=(g(t), j(t)) \, \Rightarrow \, h'(t)=(g'(t), j'(t))\)
Llamemos: \(u(t) = (t, {e}^{-{t}^{2}}) \, \Rightarrow \, h(t)=(t,f(u(t)))\)
$$u(0)=(0,1)$$
Entonces:
$$h'(t)=(1, Df(u(t)).Du(t))= (1, Df(u(t)).\left(\begin{matrix}1 \\-2t{e}^{-{t}^{2}} \end{matrix}\right ))$$
Reemplazando valores:
$$h'(0)=(1, Df(0,1).\left(\begin{matrix}1 \\0 \end{matrix}\right ) ) = (1,\left(\begin{matrix}2 & 3 \\1 & -1\end{matrix}\right).\left(\begin{matrix}1 \\0 \end{matrix}\right ) ) = (1, 2,1)$$
Saludos.
Una pregunta. ¿El ejercicio 4 es el Teorema del Valor Medio para integrales dobles?
En el ejercicio 4, para la parte de calcular el área de \(t.D\) se hace con el teorema de cambio de variable.
Definimos una transformación \({T}_{t}:D \rightarrow t.D\) por \({T}_{t}(x,y)=(tx,ty)\)
Esta función es \({C}^{1}\) y biyectiva (pues \(t \neq 0\)).
$$D{T}_{t}(x,y) = \left(\begin{matrix}t & 0 \\ 0 & t\end{matrix}\right) \, \Rightarrow \, det(D{T}_{t}(x,y)) = {t}^{2}$$
Entonces puedo aplicar el teorema de cambio de variable:
$$Area(t.D)=\int_{t.D}^{}1 dxdy= \int_{D}^{} \vert det(D{T}_{t}(x,y)) \vert dxdy = \int_{D}^{}\vert {t}^{2} \vert dxdy = {t}^{2} \int_{D}^{} 1 dxdy = {t}^{2}.Area(D)$$
Supongo que en la segunda parte te piden calcular el volumen del cono.
Llamemos \(Area(t.D)=h(t)\).
Tenemos que \(C = \{ (tx,ty,t) \, : \, (x,y) \in \, D \, , \, t \in (0;1) \}\)
Para calcular el volumen de \(C\) planteamos:
$$Vol(C) = \int_{C}^{} 1 dV$$
Podemos describir a \(C\) de la siguiente manera:
$$Vol(C) = \int_{0}^{1} ( \int_{t.D}^{} 1 dxdy ) dt = \int_{0}^{1} Area(t.D) dt=\int_{0}^{1} h(t) dt$$
Cuentas y listo.
Saludos.
Gracias Kevin!!! Que groso, así parece re fácil!!!
Saludos!
En el 4a quedaría 4t^2? o sea t es una constante que toma algun valor entre 0 y 1?
Mientras que en el 4b quedaría 4/3??