Buenas recien salidito del horno....aca les dejo el final que acabo de rendir. Aclaro que fue tomado por Zilber.
\(\mathbb{C}^1\rightarrow diferenciable\)
Fermat en \(\mathbb{R}^2\)
Sea \(B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : ||(x, y)|| \leq 1}\) y \(f:\mathbb{R}^2->\mathbb{R} / f \in \mathbb{C}^1\) y también se sabe que \(2 \leq f(x,y) \leq 8\).
Probar que \(\exists p \in B / ||\nabla f(p)|| \geqslant 3\)
Sea \(f:\mathbb{R}^2->\mathbb{R} / f \in \mathbb{C}^1\) de modo que:
Otra duda más. En el 3ero, no le falta alguna hipótesis? porque usando Lagrange (valor medio) llegaría si supiese que f alcanza máximo y mínimo en el compacto. Ahí acoto fácil.
Otra duda más. En el 3ero, no le falta alguna hipótesis? porque usando Lagrange (valor medio) llegaría si supiese que f alcanza máximo y mínimo en el compacto. Ahí acoto fácil.
Esta \(f\) cumple todo y sin embargo contradice el resultado.
Para el cuarto sólo hay que usar el Teorema fundamental del cálculo un poco modificado para 2 variables y regla de la cadena. Sólo te piden el desarrollo del polinomio de Taylor de orden 2, por lo que no es necesario que des la expresión del resto. Además, la hipótesis debe ser que \(f \in {C}^{2}\), sino no tiene mucho sentido (o aunque sea que te digan que es \({C}^{1}\) pero dos veces diferenciable en el origen). La diferenciabilidad de \(g\) se deduce se de la de \(f\) y la integral.
El problema mìo con el tercero es este:
1ero) ¿existen R y Q en lR2/ f(R)=8 y f(Q)=2?
2do)Si la hipótesis como está escrita quiere decir eso, R y Q tienen que ser del compacto. Sino fijate la función f(xy)=3sen(x)+5. Cumple todas las hipótesis pero los puntos más cercanos a la bola de radio uno que alcanzan máximo y mínimo respectivamente son (pi/2;0) y (-pi/2;0). El punto p cae dentro de la bola, y sin embargo, el módulo gradiente es menor que 3 (se puede calcular explìcitamente quién es P por lagrange), lo cual es lógico porque de la norma entre esos dos puntos es pi.
El problema mìo con el tercero es este:
1ero) ¿existen R y Q en lR2/ f(R)=8 y f(Q)=2?
No es necesario eso. Que la imagen de la función esté incluida en un intervalo determinado, en este caso, \(Im(f) \subset [2;8]\), no quiere decir que coincida. Fijate en el ejemplo que puse, la función tranquilamente podría ser constante en todo \({\mathbb{R}}^{2}\) y en ese caso la imagen solo consta de un punto en ese intervalo.
pdmorrone escribió:
2do)Si la hipótesis como está escrita quiere decir eso, R y Q tienen que ser del compacto. Sino fijate la función f(xy)=3sen(x)+5. Cumple todas las hipótesis pero los puntos más cercanos a la bola de radio uno que alcanzan máximo y mínimo respectivamente son (pi/2;0) y (-pi/2;0). El punto p cae dentro de la bola, y sin embargo, el módulo gradiente es menor que 3 (se puede calcular explìcitamente quién es P por lagrange), lo cual es lógico porque de la norma entre esos dos puntos es pi.
¿Estás planteando que si la hipótesis quiere decir que \(f\) alcanza efectivamente el valor de \(2\) y \(8\) para determinados puntos, entonces esos puntos tienen que estar en la bola \(B\)? De ser así, tendrías que probarlo, pero no es necesario que eso pase.
Con ese ejemplo no estás probando nada, y además no entiendo a qué te referís con que el punto "p" cae adentro de la bola y todo eso. Estás dando algunos "puntos de ejemplos" y no estás probando nada. De hecho, primero fijate de dónde plantearías Lagrange (con qué puntos en cuestión).
Creo que es un poco confusa tu pregunta. Si podés ser más específico te lo agradecería. Igualmente, el enunciado del ejercicio debe estar mal porque hay un contraejemplo.
Alguien puede poner el enunciado correcto del ejercicio 3 por favor ? Estoy estudiando para el final y me hace toda la deferencia tenerlo =)
Y otra cosa, en el "1)" de C1 implica diferenciable, era para Rn ? En el apunte para Rn no lo demostró, y para el caso de R2 que muestra tiene errores de cuentas... suena medio garca tomar eso :S
Y otra cosa, en el "1)" de C1 implica diferenciable, era para Rn ? En el apunte para Rn no lo demostró, y para el caso de R2 que muestra tiene errores de cuentas... suena medio garca tomar eso :S
Muchas gracias!
Ahh, capaz el 2 en vez de ser Fermat en R2 es simplemente Fermat en Rn (es igual demostrarlo en R2 o Rn, la demostracion del libro es para Rn y simple) y lo de R2 era para el "1)" ?
Ahí suena menos garca, toman la demostración de R2 de f es C1 ==> f es diferenciable, que es la que "da" el apunte 🙂
Perdón, pero alguien pudo conseguir la versión posta del enunciado del 3?
Así como está escrito está mal. Si estuviera escrito como voy a poner se puede probar, pero así como está es mentira.
Si existen Q y R del compacto tal que f(Q)=8 y f(R)=2 y son son máximo y mínimo de f, por teorema de Lagrange sale y es una pavada. Así como está es mentira. Gracias! (y perdón que todavía no me acostumbre al latex, la verdad que no cazo una cómo usarlo).
Tengo problemas para aplicar el teorema fundamental del calculo integral (creo que deveria usarlo) para funciones del estilo del ejercicio 4 ¿me ayudarian con la derivada de esa función o con alguna idea que me pueda ser util?
Muchas gracias de verdad!
Cómo resolvieron el ejercicio 4), me trabé resolviendo la integral... o hay alguna otra manera de obtener las derivadas parciales de g(x,y)??
Otra duda, en el punto 1) f es C' => f diferenciable, que la función sea C' significa que las primeras derivadas existen pero no me dice nada que sean contínuas no?? es decir, tendría que probar que el limite =0 o estoy equivocada?
Tenes que usar el teorema fundamental del calculo en el 4.
\(C^1\) quiere decir que las derivadas parciales existen y son continuas. Diferenciable es que el limite de diferenciabilidad da 0.
Tenes que probar lo segundo suponiendo lo primero.