Lagrange para funciones diferenciables (lagrange en R(n))
Taylor de orden 2 en (0,0) de \(G(x)=e^{xy}\cos(x+y)\)
3.b) \(\lim \frac{e^{xy}\cos(x+y)-1+x^2+y^2}{x^2+y^2}\)
Sea f🙁a,b)-->R, derivable en (a,b), f'(x) continua en (a,b) y se anula solo en un punto. Probar que f(x) no se anula en 3 puntos.
El 1) y el 2) son de libro, textuales, ni siquiera había que enunciar los teoremas, ya los daban enunciados, el 3 me dio
T(x)=1-(1/2)x^2-(1/2)y^2 y el lim me dio 1/2 (hay que usar lo del item a) y lo comprobe con otras personas. El 4) sale por absurdo al asumir que Fermat o rolle se cumplen (la verdad no me acuerdo quien, fue el que no hice del todo bien.
Hola! Gracias por subir el final!! Una pregunta, no entiendo bien como calculas el limite y por que usas el polinomio de taylor q calculaste en el item anterior. Como haces?
Muchas gracias!
Usa el taylor calculado para acotar el límite. Fijate que en un entorno del (0,0) \(e^{xy}cos(x+y)\)=\(1-0.5x^2-0.5y^2\) entonces vale la aproximación.
\(1-0.5x^2-0.5y^2-1+x^2+y^2\)=0.5.(x^2+y^2) en el numerador. Se cancelan los\(x^2+y^2\) y listo, da 1/2.
Para el ejercicio 4 lo que plantié fue el siguiente razonamiento por absurdo:
Supongo que \(\exists x_{1},x_{2},x_{3} \in (a,b) / f(x_{1})=f(x_{2})=f(x_{3})=0\).
Luego si tomamos sin perdida de generalidad \(x_{3}>x_{2}>x_{1}\) y \(x_{3}!=x_{2}!=x_{1}\).
Podemos analizar \(f:[x_{1},x_{2}]\to\mathbb{R}\) y \(f:[x_{2},x_{3}]\to\mathbb{R}\) que se encuentran bien definidas pues \([x_{1},x_{2}] \in (a,b)\) y \([x_{2},x_{3}]\in (a,b)\).
Luego \(f:[x_{1},x_{2}]->\mathds{R}\) es continua y diferenciable en \([x_{1},x_{2}]\) pórque lo era en \((a,b)\),además \(f(x_{1})=f(x_{2})\),
por lo tanto valen las hipotesis del Teorema de Rolle y por ende \(\exists k \in [x_{1},x_{2}] / f'(k)=0\).
Haciendo el mismo análisis con \(f:[x_{2},x_{3}]\to\mathbb{R}\) vale tmb las hipotesis del teorema de Rolle y por ende \(\exists d \in [x_{2},x_{3}] / f'(d)=0\).
Con lo cual llegamos a un absurdo pues por la hiótesis original de la propiedad \(\exists! c \in (a,b) / f'(c)=0\).
y en este caso encontramos \(\exists k \in [x_{2},x_{3}] \subset (a,b) / f'(d)=0\). y \(\exists d \in [x_{2},x_{3}] \subset (a,b)/ f'(d)=0\).
Además \(k!=d\) pues se encuentran en segmentos distintos dentro de (a,b).
Hola. ¿Alguien podría escribir paso a paso, explicando la teoría que usó, como hizo la parte 3)b) cuando hay que probarlo por definición?
¡Muchas gracias!
En el 3)b) no hace falta hacer una aproximación. Creo que lo más correcto es decir que la función G(x,y) es exactamente igual al polinomio de Taylor de orden 2 más el Resto.
Entonces, usás la propiedad que dice que el resto tiende a 0 más rápido que la norma al cuadrado.