Final del 07 de Agosto de 2012 [PEDIDO]

Alguien lo tiene?

Te digo el que me tomaron a mi:

Primero ejercicio
\(Sea \: f:\mathbb{R}^{2} \rightarrow {R}^{2} \: de \: clase \: {C}^{1} \: tal \: que \: f(3{t}^{3}+2,\:{e}^{{t}^{2}})=(3,6) \:para\:todo\: t\in \mathbb{R}.\:\)\(Probar \: que \: Df(2,1)\: no \: es \: inversible.\)

Segundo ejercicio

Sea \(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow\)\(\mathbb{R}\) diferenciable en un punto P, probar que existe la derivada direccional para todo \(V\in \mathbb{R}^{2}\) tal que \(||V||=1\) y que se calcula como \(<\triangledown {f]_{p}, V>\). Deducir que el gradiente de f es la direccion de maximo crecimiento.

Tercer ejercicio.

Enunciar y demostrar la formula de taylor de orden 2 para funciones de dos variables (incluido el resto de lagrange y la propiedad de que tiende a 0 cuando se lo divide por la norma al cuadrado)

Cuarto ejercicio:

\(Sean \: f, \: g \: :\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \: tales \: que \:\)\(\triangledown {f}_{(x,y)}, \: \triangledown {g}_{(x,y)} \: son \: linealmente \: independientes. \:\)\(\: calcular \: la \: siguiente \: integral\) en la region D delimitada por las rectas \(f(x,y)=3, \: f(x,y)=7, \: g(x,y)=-2, \: g(x,y)=2.\)

Para el 4 la unica manera que se me ocurrio de resolverlo fue con un cambio de variable llamando u= f(x,y) y v= g(x,y), los limites de integracion ya los tengo, pero no puedo calcular el jacobiano!!
Alguen tira alguna idea para resolverlo? 🙄

Vos pusiste T(u,v)=( f(x,y),g(x,y)) El tema es que para calcular el jacobiano, no sabes nada de los gradientes de f y g (solo q son linealmente independientes)

Yo creo que tenes que hacer al reves, T(f(x,y) , g(x,y)) = (u , v)

Con esa transformacion, el jacobiano te da 1, y sabes que lo podes calcular, y tu dominio te queda esencialmente lo mismo, porque simplemente estas poniendole otros nombres a las funciones. Despues la integral tenes que hacerla por Fubini y te da 0, porque al integrar respecto de v (g(x,y) ) te pide evaluar en 2 y -2, y se te cancelan y te daba 0.

Igual, nose si eso esta bien, porque no pude ver el final corregido 😛 Pero yo hice eso, es lo unico que se me ocurrio.

Si esta mal, o a alguien se le ocurre otra manera, avisen

El Jacobiano es constante porque al ser T(x,y)=(f(x,y); g(x,y)) y f y g son dos transformaciones lineales, su diferencial es la matriz asociada a T, por lo que su determinante es constante.

Lo que me pareció más fácil es pensarlo como un cambio de variable al revés: es decir, tenés tu integral ya con el cambio de variable y querés volver a la original. El jacobiano no te molesta porque al ser una constante multiplicás y dividís por ella y listo (además al ser f y g dos transformaciones lineales linealmente independiente te garantiza que T sea linealmente independiente, por lo que su determinante jacobiano no es cero y se puede aplicar el teorema del cambio de variable)

Saludos.

el jacobiano no molesta porque es una contante y te termina dando 0, pero si lo quiero calcular yo tomo T^-1(x,Y)=(f(x,y) , g(x,y)) = (u , v) entonces jT=1/jt^-1 no? y el JT^-1=(gradiente de f
gradiente de g)
y como son li porque lo dice el problema el determinante es distinto de 0 y es valido el cv
es correcto este razonamiento?

Como se hace el primero?

inkosoft escribió:

Como se hace el primero?

Suponete que es inversible y llegá a un absurdo con el teorema de la función inversa.
Hint
¿Qué pasa con la inyectividad de f en un abierto que contenga al (2,1)?

No se bien como llegar al absurdo. Usando el teorema de la funcion inversa si es C1, sale de un abierto, \(F(p)=(w,z)\) y su Determinante es distinto de cero, entonces existen entornos U,V tal que \(P \in U \ , \ (w,z) \in V\) y una funcion inversa \(F^{-1}:V \rightarrow U \ , \ C^1\) tal que \(F^{-1}(w,z)=P\). Con eso como llego al absurdo? Tampoco entendi muy bien tu hint, 🙁

La joda esta en decir que el absurdo esta en que no puede ser inversible porque no es biyectiva, al perderse la inyectividad cuando (2,1) va al (3,6) pero el (3,6) va al (3,6) tambien o algo asi? No se bien como escribirlo...