Como ñoño responsable, posteo el final que acabo de dar.
Son todos bastante fáciles. La vuelta del último, sale asumiendo que no es continua (negá el "para todo e > 0 ..."), y construyendo la sucesión de puntos tal que \(T_i\) está a distancia \(\frac{1}{i}\), y\(f(T_i)\) está siempre lejos de \(f(P)\).
Lo único que me corrigió es que dice \(log\), no \(ln\), yo asumí que quería decir \(ln\). Igual es una constante multiplicativa que no jode.
Y sí, en el 1, basta continuidad, no hace falta que sean \(C^1\).
Éxitos!
EDIT: Me comí un 3.
EDIT: Bueno, ya dormí un rato, y mañana tomo parcial a las 9am. Para quedarme bien dormido, acá tipeo las resoluciones.
Esto sale bastante directo. Sabemos que, como \(f\) es continua, si me muevo en un entorno de \((1, 2)\), me voy a quedar en un entorno de \((5, 3)\) cuando calcule \(f\).
O sea, \(\forall\ \varepsilon > 0, \exists\ \delta > 0 \mid \|X - (1, 2)\| < \delta \implies \|f(X) - (5, 3)\| < \varepsilon\).
Y también sé que \(g\) tiene un mínimo local en \((5, 3)\).
Por lo tanto, \(\exists\ \delta' > 0 \mid \|X - (5, 3)\| < \delta' \implies g(X) \ge g(5, 3)\).
Pero entonces, yo me quiero quedar dentro de ese \(\delta\) de \((5, 3)\). Como estoy viendo \(g(f(X))\), lo que quiero que esté dentro de ese \(\delta\) de \((5, 3)\) es \(f(X)\). Pero \(f\) es continua, entonces puedo obligarla a quedarse cerca de \((5, 3)\), si a su parámetro lo restrinjo. Es decir:
Tomo \(\varepsilon = \delta'\). Entonces \(\exists\ \delta > 0 \mid \|X - (1, 2)\| < \delta \implies \|f(X) - (5, 3)\| < \varepsilon = \delta'\).
Pero si \(\|f(X) - (5, 3)\| < \delta'\), por lo segundo, \(g(f(X)) \ge g(5, 3)\).
Luego, juntando todo, \(\exists\ \delta > 0 \mid \|X - (1, 2)\| < \delta \implies g(f(X)) \ge g(5, 3) = g(f(1, 2))\)
Y esto es la definición de que \(g\ \circ\ f\) tenga un mínimo en \((1, 2)\).
Sin pérdida de generalidad, vamos a asumir que es un mínimo local. La demostración para el máximo es análoga.
De la misma manera, sólo vamos a probar que la primera coordenada del gradiente se anula, la otra es análoga.
Pero en un entorno de \((a, b)\), vale que \(f(a + h, b) \ge f(a, b)\), por ser \((a, b)\) un mínimo local de \(f\), y \(h\) arbitrariamente chico.
Luego el numerador, a partir de un punto (es decir, para todo \(h\) suficientemente chico), es siempre \(\ge 0\).
Pero si el límite existe (y existe puesto que las derivadas de \(f\) existen en \((a, b)\)), entonces vale que
Pero entonces, a partir de un punto, el lado izquierdo es siempre \(\ge 0\) (puesto que el numerador es \(\ge 0\) y numerador es \(> 0\)), y el lazo derecho es \(\le 0\) (puesto que el numerador es \(\ge 0\) y el denominador \(< 0\)). Pero entonces, como el límite existe, y es ambos \(\ge 0\) y \(\le 0\), el límite vale \(0\).
Y habíamos dicho que ese límite era precisamente \(\frac{\partial f(a, b)}{\partial x}\), luego la primera coordenada del gradiente se anula en \((a, b)\).
Bueno, acá podemos intentar ver qué pinta tiene \(C\). La condición de que la norma está entre 2 y 3 nos dice que es un pedazo de un anillo al rededor del origen. La condicion del x y el y nos determinan qué cuadrante del anillo es (igual, el problema es simétrico en cualquier cuadrante, claramente).
Entonces la región que tenemos tiene esta pinta:
Y estamos integrando la norma al cuadrado del gradiente de \(f(x, y) = \log(x^2 + y^2)\). Para que las cuentas sean más lindas, voy a pretender que \(\log = \ln\), pero acuérdense que \(\log(t) = \frac{\ln(t)}{\ln(10)}\), entonces tienen ese factor multiplicativo dando vueltas (igual, al final creo que desaparece). En el final, ni me preocupé y asumí que \(\log = \ln\).
Luego \(\|\nabla f(x, y)\|^2 = \frac{4(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{4}{x^2 + y^2}\)
Bueno, ahora cambiemos a coordenadas polares. Por lo que vemos en la región, el ángulo se mueve entre \(\frac{\pi}{2}\) y \(\pi\), y el radio se mueve entre 2 y 3.
El determinante Jacobiano de la transformación que pasa a polares es \(r\), con \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Entonces tenemos
La ida es bastante fácil, la vuelta tenés que pensar un poco, pero sale.
Quiero ver que \(f(T_n) \to f(P)\). Luego, sea \(\varepsilon > 0\). Como \(f\) es continua en \(P\), \(\exists\ \delta > 0 \mid \|X - P\| < \delta \implies |f(X) - f(P)| < \varepsilon\). Tomo \(\varepsilon' = \delta\). Entonces, \(\exists n_0 \in \mathbb{N} \mid \forall n > n_0, \|T_n - P\| < \varepsilon' = \delta\). Pero si \(\|T_n - P\| < \delta\), entonces \(|f(T_n) - f(P)| < \varepsilon\).
Juntando todo, vemos que \(\forall\ \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} \mid \forall n > n_0, |f(T_n) - f(P)| < \varepsilon\).
Esto es precisamente que \(f(T_n) \to f(P)\).
Bueno, asumamos que \(f\) no es continua, pero sí vale que \(T_n \to P \implies f(T_n) \to f(P)\), para cualquier sucesión \(T_n\).
Como \(f\) no es continua, \(\exists\ \varepsilon > 0, \forall\ \delta > 0, \exists\ X \in \mathbb{R}^2 \mid \|X - P\| < \delta \land |f(X) - f(P)| \ge \varepsilon\). Esto es simplemente la negación de la definición de ser continua en \(P\).
Bueno, entonces sea \(\varepsilon_0\) un tal \(\varepsilon\).
Luego, para cada \(i \in \mathbb{N}\), puedo elegir \(\delta_i = \frac{1}{i}\), y estoy seguro de que \(\exists\ X_i \in \mathbb{R}^2 \mid \|X_i - P\| < \delta_i \land |f(X_i) - f(P)| \ge \varepsilon_0\).
Veamos que \(X_i \to P\). Sea \(\varepsilon > 0\), luego como \(\mathbb{R}\) es Arquimediano, \(\exists\ n_0 \in \mathbb{N} \mid n_0\varepsilon > 1\). Entonces, sea \(n > n_0\). Por construcción, \(\|X_n - P\| < \delta_n = \frac{1}{n} < \frac{1}{n_0} < \varepsilon\). Por lo tanto, \(X_n \to P\).
Por hipótesis, esto implica que \(f(X_n) \to f(P)\).
Esto es, \(\forall\ \varepsilon' > 0, \exists\ n_0 \in \mathbb{N} \mid \forall n > n_0, |f(X_n) - f(P)| < \varepsilon'\).
Elegimos \(\varepsilon' = \varepsilon_0\). Entonces, \(\exists\ n_0 \in \mathbb{N} \mid \forall n > n_0, |f(X_n) - f(P)| < \varepsilon_0\)
Pero justamente elegimos \(X_n\) para que siempre valga que \(|f(X_n) - f(P)| \ge \varepsilon_0\).
Absurdo.
Luego, \(f\) debe ser continua en \(P\).
Espero no haberme mandado ningún moco. 🙂
Firma
Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.