Alguien tiene o consiguió el final que tomaron ayer?
Tema
final 24/07/2012
Hola! El final que tomaron ayer es el siguiente (no lo puedo scanear, asi que lo escribo, espero que lo puedan ver bien y no se usar latex, perdón):
\(1)\) Enunciar y demostrar el teorema de Bolzano en \(\mathbb{R}\)
\(2)\) Sea \(F:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) de clase \(C^1\) y sea \(g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) definida como \(g(x,y)=F(e^{x^2+y}, sen(2xy))\) supongamos que el plano tangente al gráfico de \(F\) en el punto \((1,0, F(1,0))\) esta dado por \(z-4x+2y=1\). Encontrar la dirección en la que la función \(g(x,y)=z\) crece más rapidamente en el \((0,0)\)
\(3)\) Sea \(L\) una recta de \(\mathbb{R}^3\) y sea \(F: \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}\) de clase \(C^1\) una función que cumple: \(F(p)=0\) sí y solo sí \(p \in L\). Probar que para todo \(p \in L\) se verifica que el gradiente de \(F\) en \(p\) es nulo.
\(4)\) Enunciar y demostrar el teorema del valor medio integral para dominios arconexos en \(\mathbb{R}^2\).
Para los chicos que cursaron este cuatrimestre con Andruchov, el cuarto problema no lo pueden hacer porque no lo vieron. De hecho los chicos que estaban en el final le dijeron eso a Larotonda y le cambiaron el problema por el siguiente: Enunciar y demostrar el teorema del cálculo integral (Lo único que no tenían que demostrar en esta parte era que F era continua en el cerrado)
Espero que les sirva, besos!
Firma
Wan
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El 3) sale por Fermat??
Ej.3:
Sale enunciando el teorema de la función implícita y suponiendo que las derivadas parciales son distintas de cero. Y llegas a un absurdo para los tres casos.
Wanda escribió:
\(2)\) Sea \(F:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) de clase \(C^1\) y sea \(g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) definida como \(g(x,y)=F(e^{x^2+y}, sen(2xy))\) supongamos que el plano tangente al gráfico de \(F\) en el punto \((1,0, F(1,0))\) esta dado por \(z-4x+2y=1\). Encontrar la dirección en la que la función \(g(x,y)=z\) crece más rapidamente en el \((0,0)\)
mmm está bien esto? tengo que calcular \(\bigtriangledown g(0,0)\) pues el gradiente es la dirección de máximo crecimiento
tengo \(g(x,y) = F(H(x,y))\)
donde \(H(x,y) =(h_1(x,y), h_2(x,y)) = ({e}^{x^2 + y}, sen(2xy))\)
por regla de la cadena(pues F es C¹ y H es diferenciable) :
$$\bigtriangledown g(p) = {D(F\circ H)}_p = \bigtriangledown F(H(p)). DH_p$$
haciendo las cuentas me queda que $$\bigtriangledown g(p) = ( \frac{\delta F(H_p)}{\delta x}( \frac{\delta h_1}{\delta x} + \frac{\delta h_2}{\delta x} ) , \frac{\delta F(H_p)}{\delta y}( \frac{\delta h_1}{\delta y} + \frac{\delta h_2}{\delta y} ) )$$
tendria que justificar que H es diferenciable?
Si, lo unico que haces es aplicar regla de la cadena y nada más, si la aplicas bien esta bien el ejercicio. Particularmente yo en el final probé porqué la dirección de mayor crecimiento es la del gradiente. Y con decir que cada componente de H son de clase infinito te alcanza para decir que es diferenciable
En el ejercicio 2 no me doy cuenta de a qué resultado absurdo se llega. Es decir, planteé el T. F. Implicita, pero no me puedo dar cuenta qué tiene de absurdo la función f:U--->V.
chag escribió:
En el ejercicio 2 no me doy cuenta de a qué resultado absurdo se llega. Es decir, planteé el T. F. Implicita, pero no me puedo dar cuenta qué tiene de absurdo la función f:U--->V.
yo lo hice así, pero no se como justificar el absurdo(estoy igual que vos)
supongo que existe \(p_0 \in L\) tal que \(\bigtriangledown F(p_0) \neq 0\) y supongo que \(\frac{\delta F}{\delta z}(p_0) \neq 0\)
$$p_0 = (a,b,c)$$
Luego por TFI existe \(V \subset R^2\) tal que \((a,b) \in V\)
existe \(W \subset R\) tal que \(c \in W\)
y existe unica \(f: V \rightarrow W\) de clase C¹
tal que \(f(a,b) = c\)
y \(F(a,b,f(a,b)) = 0 \forall (a,b) \in V\)
ahora, creo que el absurdo es porque \(V\) es una bola(abierta o cerrada¿?) entonces existe \((a_1,b_1)\in V, (a_1,b_1) \not\in L\) tal que F(a_1, b_1, f(a_1,b_1) = 0) lo cual generaria un absurdo.
edit: si alguien puede tirar un poco de luz :p
El absurdo se da porque (a,b) pertenece a la recta, que como no tiene superficie al encerrar una bola abierta V podes encontrar puntos dentro de V en los que no se cumple el teorema de la función implícita
Gracias, pensaba que iba por ahí, pero no sabía si estaba mandando fruta, o algo por el estilo.