sea \(f: R^2 \rightarrow R\) una funcion C¹ y \(D = [0,1]x[0,1]\). Probar que
$$\int_{D} (f_x(x,y) + f_y(x,y))dxdy = \int_{0}^{1}(f(t,1) - f(t,0) - f(0,t) - f(1,t)) dt$$
Tema
Ej4: 15/05/2009
Alguien podria dar alguna idea de como resolver esto? Intente aplicar el teorema fundamental del calculo, Fubini y cambio de variable y no llegue a nada. Supongo que hay que hacer cambio de variable pero creo que no lo hice bien. 🙄
Sale con fubini y teorema fundamental del cálculo. Estoy casi seguro de que ya está hecho en el foro, buscalo!
Firma
Quimey
JULIAN escribió:
sea \(f: R^2 \rightarrow R\) una funcion C¹ y \(D = [0,1]x[0,1]\). Probar que
\(\int_{D} (f_x(x,y) + f_y(x,y))dxdy = \int_{0}^{1}(f(t,1) - f(t,0) - f(0,t) - f(1,t)) dt\)
Separá la integral de la izquierda en dos, usá Fubini e integrá la parcial respecto de x sobre x, la parcial respecto de y sobre y, juntá las integrales y queda lo de la derecha. Hay algún signo menos que debería ser un más, creo.
Al separar la integral en dos, integras la derivada parcial de f respecto de x sobre x y cambiando el orden de integracion por Fubini haces lo mismo con la derivada parcial de f respecto de y sobre y , por lo cual te queda la funcion original f (x,y). Al evaluar en los limites de integracion te da casi igual a lo que querias llegar, pero te queda en dos variables : la integral entre 0 y 1 de [ f(1,y) - f(0,y) dy] y la integral entre 0 y 1 de [ f(x,1) - f(x,0) dx]. ¿ Como hiciste despues al sumar para que te de todo en una variable?
PD: Disculpame por la ausencia de latex. 🙄
Y el tercer - debería ser un + para que te quede igual!!
Le cambias el nombre a las dos variables por t y listo!
pero porque esta bien hacer eso? solo porque ambas variables se mueven entre 0 y 1? 🙄