\(1)\) \(f : [a, b] \rightarrow \matbb{R}\) continua, ver que es integrable en \([a, b]\).
\(2)\) \(A = \{(n, 1) : n \in \matbb{N}, n \leq 10\}\), \(F : \matbb{R}^2 \rightarrow \matbb{R}\) de clase \(C^1\). \(F(p) = 0\) si y sólo si \(p \in A\). Ver que \(\forall p \in A, \nabla F(p) = 0\)
\(3)\) \(f : \matbb{R}^2 \rightarrow \matbb{R}\) de clase \(C^3\). \(p \in \matbb{R}^2\), \(Df(p) = 0\) y el hessiano de \(f\) en \(p\) definido positivo. Ver que \(p\) es un mínimo local estricto de \(f\).
\(4)\) Verdadero o falso
\(a)\) \(A \subset B \subset \matbb{R}\), \(A\) no vacío, \(B\) acotado inferiormente, entonces \(inf(B) \leq inf(A)\).
\(b)\) \(A \subsetneq B \subset \matbb{R}\), \(A\) no vacío, \(B\) acotado inferiormente, entonces \(inf(B) < inf(A)\).
El 4 a es verdadero porque si hay un K que es más chico que cualquier elemento de B y todos los elementos de A están en B, si K no está en A, el ínfimo de A es más grande que el de B. Si K está en A, los ínfimos son iguales.
El 4 b es falso. Un contra ejemplo puede ser que B sea {1,2,3,4,5} y A sea{1,2,3}. A está incluído pero no es igual a B y los ínfimos son iguales.
Pudieron resolver el ejercicio 2? Se que hay que utilizar el teorema de la funcion implicita e intentar demostrarlo por el absurdo, pero no me doy cuenta como hacerlo.
Agredeceria si me tiran un centro con este tema
Tenemos una funcion que se anula solo en 10 puntos (1,1) (2,1) (3,1) ... (10, 1) que son los puntos de A.
Tenemos que probar que el gradiente se hace cero en esos puntos. Para eso, podriamos mostrar que son extremos. Entonces, si mostramos que F es siempre positiva o siempre negativa cuando no esta en P, tendriamos que son extremos. Para eso, podemos suponer que hay un Q y un X donde F(x) es positiva, y F(Q) es negativa. Tomas el segmento que los une, y como es continua, (clase c1) entonces se anula en algun punto. Uno podria decir que ese punto donde se anula justo pertenece a A, pero existe un entorno alrededor de X, donde F es positiva. Tomas otro punto de ese entorno, lo unis de nuevo con Q, y te da que se anula en otro lugar, que no puede ser un P perteneciente a A.
Y eso en particular lo podes hacer entre los 10 puntos donde se anula.
Nose si estarà bien, pero es lo que pense. Igual con funcion implicita debe salir, ahora estoy pensando como hacerlo con implicita
bueno si, supongo que si, capaz que mas formalmente podes usar una sucesion \({X}_{t} =(n + 1/t , 1 )\) con \(t \rightarrow \infty\) entonces si \({X}_{t} \rightarrow (n,1) \Rightarrow f({X}_{t})\rightarrow f(n,1)\)
Para qué serìa esto? me perdi un poco ya en el ejercicio.
Aca traté de escribir la resolucion que pense un poco mas formal. Igual seguro tengo errores, ni siquiera se si esta bien la resolucion.
Sea \(Q\in\mathbb{R}^{2} / F(Q) > 0 X\in \mathbb{R}^{2} / F(X)< 0.\) Si tomamos el segmento que une X con Q, sea\(\alpha (t) = Q + t(X-Q)\) **este segmento, como F es continua, pues es \({C}^{2}\) , por Bolzano se anula en algùn punto del segmento. Si este punto es \(P\inA\), podemos tomar otro punto Y en un entorno de Q, donde \(F(Y)>0\), pues F es continua. Ahora tomamos otro segmento \(\beta (t)= Y + t(X-Y)\) que une X con Y. Nuevamente por bolzano la funciòn a lo largo del segmento se anula, y este punto no puede ser P. En particular, como podemos achicar el entorno todo lo que queramos, tampoco va a ser otro \(P\in A.\) Esto es absurdo pues tenemos que F se anula sòlo en los \(P\inA.\) **
Bueno, el de la implicita es la posta. Tenìas razon. Creo que tenes que suponer que el gradiente no se anula en P. Entonces, como es c1, podes aplicar el teorema de la funcion implicita en P, y existe un entorno donde definis la funcion implicita. En ese entorno, el grafico de la implicita tiene infinitos puntos y el entorno esta en interseccion con una superficie o curva de nivel, la cual vas a definir como los (x,y) / f(x,y) = 0. El teorema (miralo de la carpeta o de las notas de larotonda, o donde gustes) te dice que la interseccion de la superficie, con el entorno, es igual al grafico de la implicita. Entonces tenes infinitos puntos donde F se anula, y ahi tenes tu absurdo.
Ahí me quedo mas claro como resolverlo, me gusto la primera versión que planteaste, es como mas intuitiva, porque si bien leo el teorema de la función implícita, es difícil ver como aplicarlo a una situación
bueno, edito ante tu editacion jajaja, te habia respondido justo lo otro. Capaz que igual hay que ser un poco mas claro en la resolucion, pero como los entornos los podes hacer tan chicos como quieras, tenes infinitos puntos a intersecar, y creo que hasta podes agregar que los segmentos sean rectas. En fin, si alguien ve algun error por favor aviseme
Como V es una bola Existe \((a_1,1) \in V\) / \((a_1,1) \not\in A / F(f(a_1,1)) = 0\)
Aquí escribo la justificación de porque da absurdo, no estoy muy seguro de que este bien
El absurdo se da porque el punto (a1,1) no pertenece a A pero si pertenece a la bola V que contiene a A, entonces no se cumpliría el teorema de la función implícita.
Vos supusiste que \(F({p}_{0}) \neq 0\) y ademas que la derivada parcial respecto de y, no se anula. Ahi por lo pronto estas contradiciendo dos cosas de la consigna (que F(p)= 0, y que el gradiente es nulo en P) Creo que te conviene contradecir una sola (la del gradiente) y llegar al absurdo.
Pero siguiendo con tu procedimiento, pones una funcion implicita \(f: V \rightarrow W\) de clase \({C}^{1}\) pero el teorema te dice que si tu funcion original iba de \({\mathbb{R}}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) entonces tu implicita va de \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\). Pero aca tu \(V\subset {\mathbb{R}}^{2}\)
Nose si me explico bien... tu el teorema de la implicita te dice que si el gradiente no se anula en un punto, (por ejemplo, \({f}_{y} \neq 0\) )y la funcion es c1, entonces podes despejar la coordenada y en funcion de x, digamos \(y(x) : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)
Creo que te conviene suponer que el gradiente no se anula ne el punto \(P \in A\), en una coordenada (digamos, la derivada parcial respecto de Y no se anula) pero que f(p)=0. y ahi tratas de mostrar que entonces hay infinitos puntos donde se anula la funcion.
Mas intuitivamente, pensalo si podes en el grafico. Tenes 10 puntos donde la funcion se anula, y queres mostrar que son todos extremos. (porque el gradiente se anula) entonces queres ver que es siempre positiva, o siempre negativa. Una funcion en el espacio que solo se anula en puntos, y no rectas, tiene que ser una especie de parabola o cono en ese punto. Si vos tenes una sabana que es positiva y despues negativa, tenes entonces toda una recta de puntos donde se anula la funcion (sino trata de dibujarla y vas a ver que no podes dibujar una sabana que se anule en un solo punto y no en toda una recta)
Para el 2, lo que se me ocurre hacer es algo así: queremos ver que todos los puntos de \(A\) son máximos (o mínimos) de la función. Si demostramos esto, el resultado sigue por Fermat. Tomamos un punto \(p\in A\) y un punto \(q\not\in A\). Suponemos sin pérdida de generalidad \(f(p)>f(q)\) (es decir, vamos a mostrar que \(A\) es el conjunto de máximos). Queremos ver entonces que \(f(p)> f(q)\) para cualquier \(q'\not\in A\). Por absurdo, supongamos que exisiera un \(q'\not\in A\) que verifique \(f(p)< f(q')\) (la igualdad no puede darse por hipótesis). Como la función es continua, existen infinitos puntos que verifican esto en un entorno de \(q'\), por lo que podemos elegir un \(q''\) en ese entorno tal que ningún punto de \(A\) esté en el segmento que une a \(q\) con \(q''\). Pero \(f(p)>f(q)\) y \(f(p)<f(q')\), así que por Bolzano hay algún punto del segmento en la que la función vale \(f(p)\), o sea, 0. Como supusimos que el segmento no contiene a ningún punto de \(A\), esto es absurdo.
para mi que cualquiera de las dos resoluciones que puso kainisma te las toman como que están bien. la rpimera es más intuitiva mientrás que la segunda es mucho mas sofisticada.
Me gustaría saber, en el primer ejercicio, hasta que punto tengo que demostrar. Por ejemplo, el apunte de Larotonda dice que se prueba con una composición de h(x)=x y g(x)=f(x). Y entonces haces hog(x)=f(x) que respeta todas las condiciones del teorema de composición para funciones integrables. La pregunta es si tengo que también demostrar este teorema?
en ese tenes que usar que como la función es continua en un compacto entonces es uniformemente continua y achicando la norma de la partición menor que \(\delta\) haces que \(M_k - m_k\) sea menor que \(\frac{\epsilon}_{b-a}\)
Me gustaría saber, en el primer ejercicio, hasta que punto tengo que demostrar. Por ejemplo, el apunte de Larotonda dice que se prueba con una composición de h(x)=x y g(x)=f(x). Y entonces haces hog(x)=f(x) que respeta todas las condiciones del teorema de composición para funciones integrables. La pregunta es si tengo que también demostrar este teorema?
Yo ante la duda demostraria todo. Nose si la de las notas basta o no, la hizo un poco corta en las notas jajajaj, larotonda este cuatrimestre en la carpeta dio una demostracion mas completa, pero no es dificil, es como la que dijo ivoo, aca la dejo por si te perdes en el procedimiento:
Queremos ver que siendo \(f\) continua, existe una particion \(P \subset [a,b]\) tal que \(S(f,P) - I(f,P)<\epsilon\) para un \(\epsilon\) dado.
Para eso escribis
\(S(f,P) - I(f,P)= \sum_{i}^{} (Mi - mi)\triangle i\) donde \(Mi = max f|\triangle i , mi=minf|\triangle i\)
Luego, como es continua dado \(\epsilon '=\)\({\epsilon}\over{(b-a)}\)\(>0\:Xi,Yi\in \triangle i, \exists \delta >0 /\) si \(|Xi - Yi|<\delta \rightarrow |f(Xi) - f(Yi)|<\epsilon\)
y ponemos \(f(Xi)=Mi, f(Yi)=mi\)
entonces \(0\leq Mi - mi\leq |f(Xi)-f(Yi)|<\epsilon '\)
$$Mi-mi<\epsilon '$$
$$(Mi-mi)\triangle i < \epsilon ' \triangle i$$
\(\sum_{i}^{} (Mi-mi)\triangle i <\)\({\epsilon}\over{b-a}\)\(\sum_{i}^{} \triangle i\)
\(\sum_{i}^{} (Mi-mi)\triangle i <\)\({\epsilon}\over{b-a}\)\((b-a)\)
Ciertamente no es difícil para nada, pero como solo tengo la versión vieja de sus apuntes, como que me la perdí. De todos modos creo que me las arreglare con demostrar exactamente lo que me piden y daré todo lo demás por demostrado (no sabido, lo voy a enunciar). Gracias.