Final tomado 2/3/12

Aca va el final que tomaron hoy, lo busque en el aula. Alguien que lo haya rendido hoy me puede decir si hicieron alguna correccion del punto 4?? no me sale salvo que cambie los ordenes de los limites de integracion. un saludo
Pd: si no se ve bien los limites de integracion del 4 son iguales en ambos lados ( entre 1 y 0 y entre Pi/2 y -Pi/2)

Gracias por publicarlo, el 1) Sale con Fermat en Rn no? Como sería, me estoy perdiendo mucho con el tema de que no puedo probarlo con Fermat en R porque no tengo un cerrado para hacer f(a)=f(b) para decir que es cte, habria que probar si no que dentro de la bola supongo que es max, entonces f(p) > f(x) para todo x perteneciente a Br(p), supongo que es mín, f(p) < f(x) para todo x perteneciente a Br(p) pero es abs, entonces f(p) = f(x) ?
En el 3) Df(p) seria de R2->R no? es decir, si fuera un pto crítico de f, Df(p)=0

Para usar eso del máximo y el mínimo, \(B_r(P)\) debería ser compacto. Yo lo que pensé fue

Agarro un punto \(Q\) en la bolita, y genero la típica curva \(\alpha(t) = Q + t(P-Q)\), entonces en todo este trayecto \(fo \alpha\), que es una función de una variable, tiene derivada nula, así que no es ni creciente ni decreciente y por lo tanto es constante. eso prueba que \(f(P) = f(Q)\) y por cómo lo elegí, \(Q\) es cualquier punto de la bolita.

Para el 3, \(Df : R^2 \rightarrow R^2\), en particular \(Df_P = \nabla f_P = (0,0)\) si \(P\) es un punto crítico de \(f\)

No puedo ver como la derivada es nula en todo el trayecto, g'(0) daria 0? Gracias por la respuesta!

Trato de ser lo más claro posible

\(fo \alpha : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}\), además como \(\alpha(0) = Q \,\,\, \alpha(1) = P\), se tiene que \(fo \alpha(0) = f(Q)\)

Usando regla de la cadena, puedo derivar la composición \(fo \alpha(t)\) y evaluarla en algún \(c \in (0,1)\)

\((fo \alpha)'(c) = < \nabla f_{\alpha(c)}, \alpha'(c)> = < \nabla f_R, P - Q> = 0\), con \(\alpha(c) = R\)

Y esta cuenta da 0, porque la curva \(\alpha\), representa puntos de una trayectoria que une a \(P\) con \(Q\). Como toda esta trayectoria está incluida en \(B_r(P)\), es decir, \(Im(\alpha) \subset B_r(P)\). Entonces, para cualquier punto \(R\) de la trayectoria, \(\nabla f_R = (0,0)\), esto por hipótesis del enunciado. Así que el producto escalar es naturalmente 0.

Podrias suponer que \(F(a) \neq F(B) \rightarrow F(a) - F(b) = \nabla f(c) (a-b)\) por lagrange. y que ahi el f(c) es distinto de cero. Como da absurdo entonces \(F(a ) = F(b)\).

En el 3) b) te queda a * H(x,y) y a no puede ser cero porque no es punto critico, entonces analizas que pasa cuando a es positiva y cuando a es negativa. Queda minimo local y maximo local

el ultimo si tomas u=u(x,y) y v=cos(y) y luego haces la derivada parcial de u *v en y, a eso lo integras te queda como si restaras las integrales, y entonces u * v = 0. Falta evaluar y fijarse

che, en el primero vale la vuelta, no bastaba partir de lo q queres probar y llegar a la hipotesis?

Te piden probar \(P \Rightarrow Q\). Si probás que \(Q \Rightarrow P\) seguirías sin decir nada de la ida.

Cristianrock escribió:

Podrias suponer que \(F(a) \neq F(B) \rightarrow F(a) - F(b) = \nabla f(c) (a-b)\) por lagrange. y que ahi el f(c) es distinto de cero. Como da absurdo entonces \(F(a ) = F(b)\).

Este teorema funcionaría para R? Ya que creo haber visto una observación similar pero al ver el teorema en R, f tiene que estar en un intervalo cerrado.
Otra pregunta, como se si una región es arconexa?

Es la versión del Teorema de Lagrange para varias variables, el requisito es que \(f\) sea diferenciable en \(B_r(P)\) y se demuestra a partir del teorema en una variable.

En ambos casos (usando curvas o usando Lagrange), \(B_r(P)\) tiene que ser arcoconexo. En general asumimos que siempre existe una curva \(\alpha : [0,1] \rightarrow B_r(P)\), continua, que une dos puntos cualesquiera de \(B_r(P)\), que es la definición de arcoconexo para \(B_r(P)\).

Che el último como se hace?! Cómo hacés partes con una sola derivada parcial?

alguno por favor tire una idea del 4 si puede, gracias!

Hola!! yo hable con gente que rindio este final al parecer los limites de integracion deñl ultimo estan mal. el que va entre -Pi/2 y Pi/2 es la Y. con lo cual haciendo partes una vez sale te queda la integral que queres menos algo que da cero.

Y cómo hacés partes ahí, con la derivada parcial?

si empezas por la integral que solo depende de y, cuando haces partes todo es constante salvo lo que depende de y. con lo cual cuando derivas U(x,y) te queda la derivada de U respecto de Y , pues el resto es una constante. Yo lo hice asi y te justo lo que piden. Probalo

si se fijan la derivada respecto de la variable \(\:y\:\) de \(\:u(x,y) ,cos(y)\:\) es,justamente, \(\:{u}_{y} cos(y)-u(x,y)sen(y)\:\) .Con eso camina bien el ejercicio.

(hay que arreglar los límites de integracion,si)

En el 3) b) te queda a * H(x,y) y a no puede ser cero porque no es punto critico, entonces analizas que pasa cuando a es positiva y cuando a es negativa. Queda minimo local y maximo local

puede ser que para vos \(a=h'(g(p))\), porque sino no entiendo de donde sacas esa \(a\) ?

3. b)

\(f''(p) = 0 + h'(g(p)) \cdot Hg_p\) con \(h'(g(p)) \neq 0\)

está así nomás escrito, o sea sería ALGO ASÍ como el hessiano de f evaluado en p, pero se entiende ;D

genial! gracias!!

En el punto 3 como esta definida h? porque esta tachado. Va desde R[2]--->[R]

je 😆 . no habia visto antes que en uno de los post definieron la h. En la 4 que hay que corregir?

En el 3 está bien tachado, \(h: R \rightarrow R\) de manera tal que \(f = hog : R^2 \rightarrow R\)

Hay un post más arriba que dice qué hay que corregir en el 4.

Cristianrock escribió:

En el 3) b) te queda a * H(x,y) y a no puede ser cero porque no es punto critico, entonces analizas que pasa cuando a es positiva y cuando a es negativa. Queda minimo local y maximo local

Entiendo que si a es positiva p es mínimo local por quedar \(det(H_f) > 0\) y \(a f_{xx} > 0\), pero si a es negativa quedan \(det(H_f) < 0\) y \(a f_{xx} < 0\), con lo cual p es punto silla (y no máximo).

Intente lo q dicen de partes en el 4 pero no me sale

A alguien le salio?

Qué te quedó?

Una pregunta, en el 3.b), ¿cómo es que usan la regla de la cadena para llegar a lo que sería el Hessiano de f en P? Parecer+ia como que hubieran aplicado la regla de la cadena 2 veces, derivando directamente el gradiente de f y de g como el Hessiano de f y de g. No sé si entiende a lo que me refiero. Se puede hacer eso? Me resulta medio sospechoso, aunque quizás haya algo que no ví

No se entiende bien cual es tu pregunta, pero no veo el problema en aplicar la regla de la cadena 2 veces...

Voy a tratar de explicarme mejor.
Por la regla de la cadena para la composición, yo tendría que:

grad(f(x,y)) = h'(g(x,y)).grad(g(x,y))

Mi pregunta es si ahora también puedo aplicar la regla de la cadena de la siguiente manera:

Hf(x,y) = h''(g(x,y)).(grad(g(x,y))^2 + h'(g(x,y)).Hg(x,y)

En el ejercicio, cuando evaluo esto en P, como es punto crítico de g, el grad(g(P)) se anula y por eso se me vá todo el primer término. Pero en caso de que la regla se pudiera aplicar así siempre, me quedaría una suma de un escalar y una matriz, que es lo que me parecía sospechoso. Quizas haya derivado mal, o estoy aplicando mal la regla, o me mandé alguna otra burrada. ¿Dónde me estoy equivocando?

Un escalar sumado a una matriz no es sospechoso, es algo que está completamente mal y que si lo pones en un examen te va a jugar bastante en contra. Que te haya quedado ese resultado significa que lo que estás haciendo está muy mal.

Para mi la manera más simple de aplicar la regla de la cadena en este caso es intentar calcular las derivadas segundas de f una por una y después ir poniendolas en la matriz hessiana.
Intentá hacer eso y si no te sale ponelo acá y te tiro una pista más explícita.

Hola, en el 3, siguiendo el consejo de quimey el hessiano de f en P me quedo:

h es una función de una sola variable, qué significan las derivadas parciales?

uhhh no....tenes razón, que pelotudo, graciela Quimey!