Hola, quería saber si alguien que rindió en esta fecha puede subir el final que tomaron, me seria de gran ayuda para saber que están tomando, si son demostraciones o si también hay ejercicios prácticos, saludos!
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Tema
Final 24-02-12
yo lo tengo! mañana si puedo lo subo, tomaron dos demostraciones, la primera Barrow y la segunda multiplicadores de lagrange en R2- Dos ejercicios, uno de continuidad y el otro calcular si un punto era un punto critico , te daba la funcion como una integral sobre un rectangulo, media jodida porque la integral no salia y creo que habia que usar TFC para calcular el gradiente directamente.
Cuando pueda lo subo,
Saludos.
Bueno, imposible escanerlo, a ver si puedo subirlo asi:
!) enunciar y demostrar la regla de Barrow
2) Enunciar y demostrar el teorema de multiplicadores de lagran ge en dos variables
3) Consideremos el abierto \(A=R^2\backslash(0,0)\) y la funcion \(f:A\longrightarrowR\) definida por:
$$f(x,y)=Ln(||(x,y)||).||(x,y)||$$
a) ver que existe el limite \(\lim_{x,y \rightarrow \,0,0}f(x,y)=l\)
b) Considerando la funcion F:R^2----R definida por \(F(x,y)=f(x,y)\) si (x,y) pertenecen a A y \(F(0,0)=l\) Probar que F es continuia en el (0,0)
c) Es la funcion f diferenciable en A? Es la funcion F diferenciable en R^2??
- Para cada (x,y) pertenecientes a R^2 considere el rectangulo
$$Rxy=\lbrace(u,v) \epsilon R^2/ 0\leq u\leq 1,0\leq v\leq x^2+y^2+1$$
Se F:R^2----R la funcion definida por la integral
\(F(x,y)=\int\int u(1-2{e}^{-v^2})dudv\) ( la integral es sobre Rxy)
Probar que el (0,0) es un punto critico de F y decidir si es un extremo o un punto silla.
Perdon la demora. Saludos
Holas!!! pregunta sobre el 3 no me sale !!! rindo el viernes y me esta poniendo mal algún alma caritativa que me ayude porfis 🙁
Jesica Baini escribió:
Holas!!! pregunta sobre el 3 no me sale !!! rindo el viernes y me esta poniendo mal algún alma caritativa que me ayude porfis 🙁
Hola:
Yo rendi este final: Te cuento más o menos. si queres algo más detallado pedimelo que lo hago
3)a
\(\displaystyle\lim_{x,y \to{(0,0)}}{} (\ln{\sqrt[2]{x^2+y^2}}){\sqrt[2]{x^2+y^2}=\displaystyle\lim_{x,y \to{(0,0)}}{} -(\ln{\frac{1}{\sqrt[2]{x^2+y^2}}})\sqrt[2]{x^2+y^2}\) Por propiedades del logaritmo.
Sigo calculando el límite: Si multiplico y deivido por \(\frac{1}{\sqrt[2]{x^2+y^2}}\), el limite queda: \(\displaystyle\lim_{x,y \to{(0,0)}}{} \frac{-(\ln{\frac{1}{\sqrt[2]{x^2+y^2}}})}{\frac{1}{\sqrt[2]{x^2+y^2}}}=0\) Luego, l=0
b) Este lo probe por definición pero en la correción me dijeron que no hacía falta, supongo que la cuenta de arriba justifica la continuidad:
c)Si calculás el gradiente como siempre, te queda que f es C1 para todo (x,y) distinto del (o,o) Entonces f es diferenciable para todo punto que está en A(ya que A excluye al (0,0))
En F vale el mismo razonamiento que para f en A, Entonces solo falta ver qué pasa con las derivadas en el (o,o) (ya que F es una función en R^2) Si calculás las derivada con respecto a X por definicion llegas a que el limte tiende a infinito entonces F no es difernciable en (0,0), Entonces F no es difernciable en R^2
Espero que te sirva, cualquier cosa preguntame
Salu2 😛
Hay muchas gracias!!!! No me acordaba de la propiedad del logaritmo!
Para el 3. a) habría que ver que \(\frac{ln(t)}{t} \rightarrow 0\) cuando \(t\) tiende a infinito (o sea, probarlo), y después justificar con el teorema del límite de la composición de funciones que el límite existe y es en efecto \(0\).
una pregunta, eso lo pruebo aplicando l'Hôpital no?
si
Hola!
una pregunta del 3.c)
para ver que f es diferenciable en A, vale decir:
como f(x,y) = Ln(|| x,y||) . ||(x,y)||
entonces, si g(x) = Ln(x) . x
y h(x,y) = ||(x,y)||
entonces, como h es diferenciables en A(A es R2 sin el (0,0))
y g es diferenciable y esta definida para todo x > 0 que es la imagen de h
entonces goh(x,y) es diferenciable en A por regla de la cadena
como f(x,y) = goh(x,y) entonces, f es diferenciable en A
esta bien el razonamiento o estoy pidifandole a algo?
Faltaría ver qué pasa en el origen, que es la parte "difícil"
Buenas Gente, tengo una duda sobr el ejer 4, Dado que te pide probar que (0,0) es Pc de F,
En principio con el gradiente de F en (0,0) = 0 sacamos los pc, ahora como obtenemos el gradiente a partir de la integral??
Usando el Teorema Fundamental del calculo podria legar a funcionar?
marto1689 escribió:
Buenas Gente, tengo una duda sobr el ejer 4, Dado que te pide probar que (0,0) es Pc de F,
En principio con el gradiente de F en (0,0) = 0 sacamos los pc, ahora como obtenemos el gradiente a partir de la integral??
Usando el Teorema Fundamental del calculo podria legar a funcionar?
Hola!
Con el TFC encontrás el gradiente, luego lo evaluás en el (0,0) y te da (0,0). Entonces, con eso mostrás que el (0,0)es un PC que es lo q te pedían probar
Bien aclarado el asunto del ejer 4, ahora surge una nueva duda, Hasta ahora probe que (0,0) es Pc de la siguiente forma:
X TFC Obtengo el gradiente F(x,y) = <x(1-e^-y2),x(1-e^-y2)> e igualando a 0 nos da que (0,0) es PC, Ahora para ver si es extremo o punto silla trate de usar el criterio del hessiano,pero obtengo que det(HF)=0 con lo cual no me dice nada.
Luego pense probar con la definicion de punto silla componiendo con 2 curvas y llegar a que en una direccion la composicion crece y en la otra decrece....pero como consigo F(x,y) para poder componer??
Debo integrar? en ese caso como se aría?, estoy medio oxidado con integrales como verán, Gracias!
Che, yo no entendí cómo se calcula el gradiente de esa integral u.u
Podés calcular la integral (creo) usando fubini.
Firma
Quimey
X TFC Obtengo el gradiente F(x,y) = <x(1-e^-y2),x(1-e^-y2)> e igualando a 0 nos da que (0,0) es PC, Ahora para ver si es extremo o punto silla trate de usar el criterio del hessiano,pero obtengo que det(HF)=0 con lo cual no me dice nada.
no me queda muy claro como sacas el \(2\) que esta acompanando a \({e}^{{-y}^{2}}\)
por otro lado, la integral no se puede resolver a mano, o en caso de que se pueda debe ser un bardo, y no es la idea..
$$F(x,y)=\int\int u(1-2{e}^{-v^2})=\int_{0}^{1+x^2+y^2}(1-2{e}^{-v^2})\int_0^1 u =\frac{1}{2}\int_{0}^{1+x^2+y^2}(1-2{e}^{-v^2})$$
Ahora derivas usando el TFC.
Exacto, hasta ahí llego yo. Pero no veo cómo aplicar TFC ahora. Entonces me tiro a la pileta y digo que la derivada respecto de y de esa integral es
$$\frac{1}{2} (1-2e^{-(1+x^2+y^2)^2})$$
Sin embargo, cuando evalúo en \((x,y)=(0,0)\) no se anula, veo que estoy usando mal el TFC y ahí me trabo ;s
Considerá \(\phi(t)=\int_0^{t}(1-2{e}^{-v^2})\) y \(\psi(x,y)=1+x^2+y^2\). Usando TFC y regla de la cadena te tiene que salir.
Rush escribió:
Exacto, hasta ahí llego yo. Pero no veo cómo aplicar TFC ahora. Entonces me tiro a la pileta y digo que la derivada respecto de y de esa integral es
$$\frac{1}{2} (1-2e^{-(1+x^2+y^2)^2})$$Sin embargo, cuando evalúo en \((x,y)=(0,0)\) no se anula, veo que estoy usando mal el TFC y ahí me trabo ;s
¡Hola!
Yo lo hice un poco distinto a lo que hiciste vos. Pero, siguiendo tu idea, creo que te falta multiplicar
\(\frac{1}{2} (1-2e^{-(1+x^2+y^2)^2})\) por 2y, que es la derivada de \(1+x^2+y^2\) con respecto de y. Eso es lo que dice el TFC.
Pos si no entendes esto último, te dejo un ejemplo:
$$f(x)= \displaystyle\int_{0}^{x^2} arcsin(t)\, dt \Rightarrow{} f^{\prime}(x)=arcsin(x^2)2x$$
Espero que te sirva.
salu2
Ahhh, elemental!!
$$\int_{a}^{x} fog_xg'(x) dx = \int_{a}^{g(x)}f(u) du$$
$$u = g(x)$$
$$du = g'(x)dx$$
$$x = g(x)$$
Grax ;D
Para hacer sustitución necesitas que \(g\) sea biyectiva, pero para hacer este ejercicio no hace falta (y de hecho la función que aparece no lo es).
La idea es (con la notación de mi post anterior):
El resultado que buscás es \(\nabla (\phi \circ \psi(x,y))\) pero por la regla de la cadena eso es \(\phi'(\phi(x,y))\nabla (\psi(x,y))\) y ahora \(\phi'\) sale con el TFC y el gradiente de \(\psi\) lo calculás a mano.
Sí, ahora te seguí con la composición. Me mataste con que \(g\) tiene que ser biyectiva. Hasta donde yo vi, mientras \(g\) fuera \(C^1\) podía usar TFC para obtener el resultado. A no ser que estuviera haciendo cambio de variables (en vez de sustitución), en ese caso la transformación \(T\) de la composición \(foT\) sí debería ser inyectiva.
O sea que lo que yo escribí era un cambio de variables con una transformación que no es inyectiva y por eso sería falso lo que escribí arriba?
Rush escribió:
O sea que lo que yo escribí era un cambio de variables con una transformación que no es inyectiva y por eso sería falso lo que escribí arriba?
Claro, sustitución es lo mismo que cambio de variable en \(\mathbb{R}\).
Buenas. Una pregunta ¿Como hicieron para ver si es punto maximo, minimo o silla? A mi el hessiano me da 0 (aparte de quedarme larguisimo) por donde lo mire.
Fijate que en los comentarios anteriores te dan una fórmula del Hessiano de \(f\) donde se ve que no es 0. Si no lo ves, posteá lo que hiciste y lo vemos.
No lo encontre 😢 Bueno, voy por primera vez con tex a ver que sale XD. Siguiendo con la idea de las composiciones de Quimey y por el TFC (que no se si los entendi bien mientras los usaba) me quedo \(\nabla(\phi\circ\psi (x,y))=(1-2e^{-(x^2+y^2+1)^2}).(2x,2y)\)\)
Aunque creo que me anda faltando un \(1/2\) de la integral de \(u\) por ahi.
Despues era mi intencion sacar el hessiano de eso, y me quedo esto. \(D^2\phi={(2(4x^3+4xy^2+4x).e^{-(x^2+y^2+1)^2}, 2(4y^3+4yx^2+4y).e^{-(x^2+y^2+1)^2})\) y
$$H\psi(x,y)=\begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$$
.
Si esto no me tenia que dar 0 evidentemente o la composicion, o el TFC, o las dos cosas las hice mal, pero no le encuentro otra forma.
Hasta acá estamos bien
$$\nabla(\phi\circ\psi (x,y))=\frac{1}{2}(1-2e^{-(x^2+y^2+1)^2}).(2x,2y)\)$$
Ahora para calcular el Hessiano, hay que poner el gradiente de cada derivada parcial en una fila. Por ejemplo, la derivada parcial respecto de \(x\) de la derivada parcial de \(\phi \circ \psi\) respecto de \(x\) en \((0,0)\), la obtengo con la regla del producto.
LLamando \(g(x,y) = \frac{1}{2}(1-2e^{-(x^2+y^2+1)^2})\), entonces usando la regla del producto queda, evaluando en \((x,y)=(0,0)\)
\(2x \cdot \frac{\partial g}{\partial x}(x,y) + 2 \cdot g(x,y) =0 + 2 \cdot g(x,y) > 0\) (se ve al evaluar).
Si no fallaron las cuentas, obtenés un resultado análogo cuando calculás la derivada parcial respecto de y de la derivada parcial de \(\phi \circ \psi\) respecto de y. Faltaría calcular las derivadas cruzadas y calcular el determinante del Hessiano.
Cuanta razon Rush, cuanta razon! Lo derive como una composicion. Muchas gracias.