Ej1: Enunciar y demostrar teorema fundamental del calculo
Ej2: Enunciar y demostrar teorema del valor medio para funciones derivables en \(\mathbb{R}^2\)
Ej3: Sean \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) y \(g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) , \(g(x,y) =f(x\)^ \(4 + y\)˄\(4,exp(3x\)˄\(2-2y\)˄\(2)-1)\) y \({f}_{y}(0,0) \neq 0\).
Demostrar que \((0,0)\) es punto critico y analizar su naturaleza.
Ej4: Sea \(F:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\), clase \(C^1\), \(F(\cos\)˄\(2(t)+ \sin(t) -1,sen (3t\)˄\(2))= (-17,5)\) para todo \(t\).
Demostrar que el determinante del jacobiano de \(F\) es igual a \(0\).
Hola! Tengo una duda con respecto al ejercicio 3 y 4... Primero, para el ejercicio 3 puede ser que a la hora de ver la naturaleza del (0;0) como punto critico haya que separar en varios casos?
Y en cuanto al punto del ejercicio 4, no basta ver que la funcion esa no es biyectiva, entonces no es inversible? O necesito pedir algo mas? Graciaaaaaas!!
Ahi va el ejercicio 4 ,cambiando el enunciado a"demostrar que el jacobiano es no nulo en el cero"(podria haber dicho cualquier punto de
la curva \(\:\sigma(t)\:\) ,con \(\:\sigma(t)=[{cos}^{2}(t)+sen(t)-1 , sen(3{t}^{2})]\:\))
Notar que,al ser \(\:F\:\) una función de clase \(\:{C}^{1}\:\) ,como \(\:F(0,0)=(-17,5)\:\) ya que \(\:(0,0) \in Im \sigma(t)\:\) (con
\(\:\sigma(t)=[{cos}^{2}(t)+sen(t)-1 , sen(3{t}^{2})]\:\)) ,si el Jacobiano de \(\:F\:\)
en el punto \(\:(0,0)\:\) fuera no nulo,entonces ,por el teorema de la función inversa, existirán abiertos \(\:U\:\) y \(\:V\:\) de \(\:{\mathbb{R}}^{2}\:\) tales que
\(\:(0,0) \in U\:\) y \(\:(-17,5) \in V\:\) y \(\:F\:\) restringida a \(U\)sería una función biyectiva.
Por otro lado, \(\:\sigma(t)\:\) tiende a \(\:(0,0)\:\) cuando \(\:t\:\) tiende a cero .Es decir que...
dado \(\:\:\epsilon \:\exists \:\delta\:\:\) tal que para todo \(\:t\:\) en la bola de radio \(\:\delta\:\) y centro cero, sucede que \(\:\|\:\sigma(t)\:\|\:\) es menor que \(\:\epsilon\:\) .
Con esto y como existe un radio \(\:r\:\) positivo tal que la bolita de radio \(\:r\:\) y centro \(\:(0,0)\:\) está metida en \(\:U\:\)tomando \(\:\epsilon = \frac{r}{2}\:\) ,me garantizo que todo \(t\) en esa bolita hace que mi funcion no sea inyectiva, lo cual se contradice con el teorema.
Hola, en el ej.4 como F es una función constante no se puede derivar e igualar al (0,0) ya que la derivada de una constante es 0? Haciendo eso llegamos a que el jacobiano de F tiene la forma
$$\left(\begin{matrix}0 & a \\ 0 & b\end{matrix}\right)$$
y el determinante de esa matriz es siempre cero...
PD: en el 4 creo que el enunciado pedía demostrarlo en F(0,0).
Hola, en el ej.4 como F es una función constante no se puede derivar e igualar al (0,0) ya que la derivada de una constante es 0? Haciendo eso llegamos a que el jacobiano de F tiene la forma
$$\left(\begin{matrix}0 & a \\ 0 & b\end{matrix}\right)$$
y el determinante de esa matriz es siempre cero...
PD: en el 4 creo que el enunciado pedía demostrarlo en F(0,0).
No es constante, dice que si lo evaluas en una curva siempre da el mismo valor, una manera es suponer que el jacobiano es distinto de cero entonces por el teorema de la funcion inversa f es inyectiva en un entorno.
En el enunciado del 4 el Jacobiano es en \((0, 0)\) (tengo el pdf con el final), y en el 3 hay que probar que \((0, 0)\) es punto crítico de \(g\).
Cristianrock escribió:
No es constante, dice que si lo evaluas en una curva siempre da el mismo valor
Pero si defino \(g(t) = cos^2(t)+sen(t)-1\) y \(h(t) = Fog(t)\), h es constante. Entonces \(\nabla h = (0, 0)\).
Usando regla de la cadena y sabiendo que \(t = 0\) hace que \((x, y) = (0, 0)\), despejo y me quedan nulos los miembros de la izquierda de la matriz.
En el 4 creo que por el absurdo sale rápido. Suponés que el determinante es no nulo y entonces la matriz del diferencial de f es inversible, hacés la regla de la cadena y si te avivás de unos detalles llegás a una contradicción.
Para el 3 también regla de la cadena y si mal no recuerdo, usando la hipótesis de que \({f}_{y}(0,0) \neq 0\) te quedaba el Hessiano no degenerado y podías usar el criterio (creo, no recuerdo bien, pero no tenía tanta vuelta)
Yo la curse hace un par largos de cuatrimestres y lo del hessiano degenerado no lo daban, porque no lo tengo en los apuntes de la clase.
Como es que lo usas para resolverlo?
Quiere decir que sus autovalores son todos no nulos, por lo que podés utilizar el criterio y te va a decir si es máximo, mínimo o silla. Si el Hessiano es degenerado entonces el criterio no decide (es simplemente la teoría)
No sé cómo te daban el criterio, pero si es degenerado entonces si usás por determinantes te va a quedar nulo. Si usás por autovalores te va a quedar por lo menos 1 nulo.