[Resuelto] Final 27/12/11

Hola!! EN primer lugar queria agradecerles a todos lo que colaboran en el foro, porque ayer di el final de analisis y la verdad que me fue muy bien gracias a muchas ideas que lei por aca!! Asi que ahora yo también quería hacer mi aporte!
Como no se usar látex, acá les dejo el final escaneado.

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Mañana subo la resolución de los puntos 3 y 4 !!

Ejercicio 3
No está muy bien justificado el tema de la sobreyectividad, es uno de los errores que me marcaron a mi.

Ejercicio 4 i)

Ejercicio 4 ii)

Tengo una pregunta respecto al punto 2. Hasta donde sé, si la f es integrable, entonces el ínfimo del conjunto de sumas superiores es igual al supremo del conjunto de sumas inferiores, supongo que esto algo tiene que ver. Entonces, si resto la suma superior menos la suma inferior de la partición, la diferencia tiene que ser mínima: ahí aparece mi epsilon. Sin embargo, no sé cómo volcar esto en el ejercicio... :S Una ayudita?? Gracias!

¿Alguien sabe como demostrar bien la parte de sobreyectividad del ejercicio 3? A mi no se me ocurre.
Gracias!

Lo que dice Romance es que por el teo de la función inversa la restricción \(f:U\rightarrow V\) debe ser sobre. El absurdo se puede ver de varias maneras, pero tiene que ver con que \(V\) debería ser un subconjunto de \(C\) pues \(f(x,y)\in C\). En efecto, sea \(P=(x,y)\) un punto de \(C\), entonces verifica \(x^2-y+1=0\). Supongamos entonces que \(V\subseteq C\) y además que \(P\in V\)(los abiertos del teorema de la función inversa son no vacíos). Como \(V\) es abierto, contiene una bolita centrada en \(P\), digamos \(B(P,r)\) con \(r>0\) el radio. Sea \(P'=(x,y+\dfrac{r}{2})\). Observá que \(P'\in B(P,r)\), pues \(||P'-P||=||(0,\dfrac{r}{2})||=\dfrac{r}{2}<r\). Entonces \(P'\in B(P,r)\subseteq V\subseteq C\), pero \(x^2-(y+\dfrac{r}{2})+1=x^2-y+1-\dfrac{r}{2}=-\dfrac{r}{2}\neq 0\) luego \(P'\notin C\), lo que es absurdo.
Lo probamos es que no puede contener abiertos no vacíos el conjunto \(C\), entonces la restricción \(f:U\rightarrow V\) nos conduce a que hay un abierto no vacío en \(C\), que vimos no es posible. Luego se concluye que el determinante era nulo.

Con respecto al ejercicio 2, fijate que se suele probar como lema ese ejercicio en la teórica.

exequiel, no se si entendi bien lo q dijiste, pero como lo hizo romance no esta totalmente perfecto??
o sea, claramente el tfinv dice como tesis q la f es biyectiva en un entorno del pto, y eso no pasa porq f cae en C y no para todo punto de C, ni para todo subconjunto de C, se tiene q en un entorno de el (el pto) sea biyectiva... el resto de las hipotesis las cumple claramente (con la suposicion del jacobiano), entonces ya esta, o no?
o sea, el unico error q encuentro en lo de romance es q V c C, no C c V... es eso lo q te marcaron romance?

Lo que dijo Romance está bien, respondí a la otra pregunta de que sea un poco más detallada la demostración que \(f\) no sea sobre. O sea, la demostración del teo de la función inversa dice que existen abiertos \(U,V\) tales que \(f:U\rightarrow V\) es biyectiva. Si \(f\) cae toda en \(C\), mostré que no hay abierto contenido en \(C\).

Alguien sabe como resolver el 1 y el 2? Me esta costando demostrarlo de una forma correcta.
Muchas gracias!

Eso está en cualquiera de los libros de la bibliografía (no lo escribo porque son medio largas las demos.).

Para el 1, tenés que ver que \(| f(X) - f(P) |\) es tan chico como quieras, eso lo lográs acotando usando desigualdad triangular.

\(|f(X) - f(P) | \leq |f(X) - f(P) - \nabla f_p(X-P) | + | \nabla f_p(X-P) |\), multiplicando arriba y abajo por la norma, ves que todo tiende a 0, probando la continuidad.