[No resuelto] - 13/12/2011

Algun alma caritativa? http://cms.dm.uba.ar/academico/materias/2docuat2011/analisis_1_M/cms.dm.uba.ar/academico/materias/2docuat2011/analisis_1_M/finalAnI131211.pdf

Me sumo al pedido! 😄

Algo mas especifico? algun ej. en el que esten trabados?

Pongan lo que pensaron y les digo como se sigue...

tengo dudas con el ejercicio 3 el item ii, no puedo usar el Hessiano porque la F no se si es C2, como lo puedo hacer? tampoco se de que me sirve que f sea creciente, muchas gracias 🙂

tefy00 escribió:

tengo dudas con el ejercicio 3 el item ii, no puedo usar el Hessiano porque la F no se si es C2, como lo puedo hacer? tampoco se de que me sirve que f sea creciente, muchas gracias 🙂

Yo justamente iba a decir que use el Hessiano, y si lo evaluas en el (0,0) te da una suma de 2 numeros menores o iguales a 0

ah okey, pense qe no se podia usar el criterio del Hessiano jeje, y sabes para que te dicen que f es creciente?

tefy00 escribió:

ah okey, pense qe no se podia usar el criterio del Hessiano jeje, y sabes para que te dicen que f es creciente?

Justamente eso es lo que use para el hessiano, si f es creciente, la derivada es mayor o igual a 0. Y si derivas F, vas a tener muchas f ', y cuando evaluas en el (0,0) se te anula todo menos la resta de estas 2 derivadas

Yo tengo dudas también en la parte (i) del ejercicio 3.
Me piden probar si F es diferenciable. Para calcular el límite necesito las derivadas parciales, pero no se aclara si f es derivable.
Ustedes cómo hicieron ese punto?

Romance escribió:

Yo tengo dudas también en la parte (i) del ejercicio 3.
Me piden probar si F es diferenciable. Para calcular el límite necesito las derivadas parciales, pero no se aclara si f es derivable.
Ustedes cómo hicieron ese punto?

Si f es continua, no es derivable?

ragatsi escribió:

Romance escribió:

Yo tengo dudas también en la parte (i) del ejercicio 3.
Me piden probar si F es diferenciable. Para calcular el límite necesito las derivadas parciales, pero no se aclara si f es derivable.
Ustedes cómo hicieron ese punto?

Si f es continua, no es derivable?

No, por ejemplo ''módulo de x'' no es derivable en 0.

No se puede usar f', hay que rebuscarselas para evitarlo, por ejemplo calculando todo lo que necesites por definicion, dejo una pista:
Las dos derivadas parciales de F en el origen son 0.

Gracias Quimey! Calculando todo por definicion, llegué a que es diferenciable.
En la segunda parte, traté de calcular las derivadas segundas también por definición. La derivada segunda respecto de x y la derivada segunda respecto de y me dan cero, pero no se cómo calcular las derivadas cruzadas, en el límite me queda algo que no se calcular.
y la verdad que ni idea de cómo hay que usar que f es creciente ❓

Definicion de punto silla: es un punto critico que no es ni minimo ni maximo local.

Por el item i sabes que es un punto critico, lo unico que te falta es ver que no es ni maximo ni minimo.

Pista:
Buscar una curva tal que la composicion tenga un minimo y otra tal que tenga un maximo. Para probar estas cosas vas a usar que f es creciente.
PD: No estoy seguro que sea exactamente esta la forma de hacerlo pero anda por ahi.

En el ejericio 3 i llegue a que el gradiente de F es (0.0) pero no pude demostrar diferenciabilidad por definicion, como lo hicieron?
Y de paso en el 4, es valido decir, que si dos integrales convergen, el producto de ellas tambien converge, porque hice un cambio a polares y me qedo la integral entre 0 y 1 de f(r). r.. y no se como seguirlo

Consulta en el 3ro parte b
no se si vengo bien hasta aca pero me salto una duda en una parte.. compongo con una curva, uso criterio de la derivada segunda en una variable, me da 0, entonces es pto de inflexion, entonces: ¿es pto silla?

natinaty28 escribió:

En el ejericio 3 i llegue a que el gradiente de F es (0.0) pero no pude demostrar diferenciabilidad por definicion, como lo hicieron?
Y de paso en el 4, es valido decir, que si dos integrales convergen, el producto de ellas tambien converge, porque hice un cambio a polares y me qedo la integral entre 0 y 1 de f(r). r.. y no se como seguirlo

¡Hola!
Con respecto al 4, yo hice lo mismo que vos.
f(r).r es una función contínua en (0,1}, por ser composición de funciones contínuas. Entonces, el único problema que tiene la integral es cuando r=0.
Ahora, llamo G(r)=f(r) y F(r)=f(r).r calculo
\(\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\frac{F(r)}{G(r)}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\frac{f(r)r}{f(r)}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{r}=0\).

Además, \(\int_0^1 G(r)dr=\int_0^1 f(r)dr<\infty\), por enunciado. Entonces, como se cumplen las condiciones del criterio de comparación, sale que:
\(\int_0^1 f(r)r dr<\infty\).
Luego, \(\int_0^\Pi\int_0^1 f(r)r dr d \theta<\infty\)como se quería probar.
Observaciones:
1)En realidad, la integral debería ir entre 0 y 2 pi, pero no se como escribirlo en tex, si alguien sabe, se agradece.
2)Si alguien no conoce este criterio de comparación, el mismo se encuentra en la pagina 150 de este libro.http://glaroton.ungs.edu.ar/calculo.pdf
Espero que les sirva.
Saludos 😄

Equinoccio escribió:

¡Hola!
Con respecto al 4, yo hice lo mismo que vos.
f(r).r es una función contínua en (0,1}, por ser composición de funciones contínuas. Entonces, el único problema que tiene la integral es cuando r=0.
Ahora, llamo G(r)=f(r) y F(r)=f(r).r calculo
\(\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\frac{F(r)}{G(r)}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\frac{f(r)r}{f(r)}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{r}=0\).

Además, \(\int_0^1 G(r)dr=\int_0^1 f(r)dr<\infty\), por enunciado. Entonces, como se cumplen las condiciones del criterio de comparación, sale que:
\(\int_0^1 f(r)r dr<\infty\).
Luego, \(\int_0^\Pi\int_0^1 f(r)r dr d \theta<\infty\)como se quería probar.
Observaciones:
1)En realidad, la integral debería ir entre 0 y 2 pi, pero no se como escribirlo en tex, si alguien sabe, se agradece.
2)Si alguien no conoce este criterio de comparación, el mismo se encuentra en la pagina 150 de este libro.http://glaroton.ungs.edu.ar/calculo.pdf
Espero que les sirva.
Saludos 😄

perdon, estas muy seguro que es asi? me surge la duda de que el teorema dice que si x tiende al limite de integracion superior vale lo de f sobre g, si el problema esta en el limite inferior (como en este ej) no deberia ser g sobre f ?? no tengo ni la menor idea de lo q estoy hablando, es solo sentido comun jaja

perdon, estas muy seguro que es asi? me surge la duda de que el teorema dice que si x tiende al limite de integracion superior vale lo de f sobre g, si el problema esta en el limite inferior (como en este ej) no deberia ser g sobre f ?? no tengo ni la menor idea de lo q estoy hablando, es solo sentido comun jaja

Hola.
Cuando me explicaron este criterio en la clase práctica, lo enunciaron como está en el libro que cité.
Sin embargo, agregaron que un enunciado análogo vale si x tiende al limite de integración inferior.
Además, si seguis leyendo el criterio en el libro, en la pagina siguiente dice

Observación 6.2.13. Los mismos resultados valen si tomamos intervalos (a;b]donde ahora el extremo
izquierdo es abierto.

Espero que esto te sirva.
De lo que no estoy segura es de que el ejercicio se resuelva asi.

SI ALGUIEN ENCUENTRA ALGÚN ERROR, POR FAVOR AVISEN ASÍ LO ARREGLO
Saludos

Equinoccio escribió:

Hola.
Cuando me explicaron este criterio en la clase práctica, lo enunciaron como está en el libro que cité.
Sin embargo, agregaron que un enunciado análogo vale si x tiende al limite de integración inferior.
Además, si seguis leyendo el criterio en el libro, en la pagina siguiente dice

Observación 6.2.13. Los mismos resultados valen si tomamos intervalos (a;b]donde ahora el extremo
izquierdo es abierto.

Espero que esto te sirva.
De lo que no estoy segura es de que el ejercicio se resuelva asi.

SI ALGUIEN ENCUENTRA ALGÚN ERROR, POR FAVOR AVISEN ASÍ LO ARREGLO
Saludos

okey gracias!! yo tenia duda ahi nomas, supongo el resto debe estar bien, pero uno nunca sabe ajja saludos!

Gente, resolví el punto 1, me dicen si está bien? No se usar latex todavia, pero ahí va:

Sea \(\{(X_n,Y_n)\}_{n\geq 1}\) sucesión tal que su limite cuando n tiende a infinito es \((a,b)\).
Entonces, por definición de límite, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(n_0\) en los naturales, tal que \(||(X_n-a,Y_n-b)||<\varepsilon\) para todo \(n\geq n_0\).
Quiero probar que \(\displaymath \lim_{n\rightarrow \infty} f(Xn,Yn)=f(a,b)\), es decir, que para todo \(\varepsilon_0>0\), existe \(\delta>0\) tal que si
\(||(X_n-a,Y_n-b)||<\delta\) entonces \(|f(X_n,Y_n)-f(a,b)|<\varepsilon_0\)
Tomando \(\delta=\varepsilon\) tengo que, por hipótesis, \(||(X_n-a,Y_n-b)||<\delta\) para todo \(n \geq n_0\), entonces \(|f(X_n,Y_n)-f(a,b)|<\varepsilon_0\) como queriamos probar.

Gisela, a mi el ejercicio no me salio, pero me hace un poco de ruido en la parte que definís el delta del limite, ya que la función esta tendiendo a infinito no a (a,b). En realidad por definición, ese limite no requiere un delta, si no un n0. Probablemente allá algo que no estoy viendo.

Vos querés probar que \(f({x}_{n},{y}_{n})\rightarrow f(a,b)\), lo que por definición, significa que para todo \(\epsilon>0\) existe \({n}_{0}\) tal que si \(n\geq {n}_{0}\) entonces \(|f({x}_{n},{y}_{n})-f(a,b)|<\epsilon\).

Como \(f\) es continua, sabés que existe \(\delta>0\) tal que si \(||(x,y)-(a,b)||<\delta\) entonces \(|f(x,y)-f(a,b)|<\epsilon\). Como la sucesión \(({x}_{n},{y}_{n})\) verifica la condición enunciada para algún \({n}_{0}\)(acá es donde tomás \(\epsilon=\delta\)), tenés que para \(n\geq {n}_{0}\) se verifica \(||({x}_{n},{y}_{n})-(a,b)||<\delta\). La continuidad entonces implica \(||f({x}_{n},{y}_{n})-f(a,b)||<\epsilon\).

Como el razonamiento vale dado \(\epsilon>0\), se tiene la convergencia deseada.

Gente alguien puede explicar como hizo el 3) b porque la verdad no encuentro trayectorias por las que la funcion tenga por una maximo y por la otra minimo y el criterio del hessiano no puedo usarlo porque no se si f es derivable- Muchas gracias

Pista 1:
Como f es creciente y f(0)=0 entonces f es negativa en los negativos y positiva en los positivos.

Pista 2:
Probá con las curvas:
y=x
y=-x

gracias por la ayuda, despuess lo miree bien y termino saliendoo,

que tal? tengo una consulta del ejercicio 3) parte i): yo lo que hice fue lo siguiente: supuse que \(F\) era diferenciable entonces
\({{d}_{F}}\over{{d}_{V}}\) \((0,0)\) \(=\) \(< \bigtriangledown\)\(F(0,0), V>\) con \(\Vert V\Vert =1\) . Entonces calculé \(\bigtriangledown F(0,0)\) que da \((0,0)\) entonces el producto interno entre este y \(V\) da cero y después calculé \({{d}_{F}}\over{{d}_{V}}\) \((0,0)\) y este ultimo limite tiende a cero. esta bien resolverlo a partir de la suposición? si alguien me puede responder.. gracias!

Tenes que demostrar que es diferenciable, no lo podes suponer.

ok, barbaro gracias!

che me podrían decir como se prueba el límite para ver si es diferenciable por definición? o sea no entiendo de que manera se tiene que acotar f(x) y f(y) para que me quede la norma, siempre llego a un numero fijo :S

Gerx escribió:

che me podrían decir como se prueba el límite para ver si es diferenciable por definición? o sea no entiendo de que manera se tiene que acotar f(x) y f(y) para que me quede la norma, siempre llego a un numero fijo :S

Te diria que postees lo que hiciste, yo lo acabo de hacer y da (relativamente fácil) que es diferenciable en el (0,0), a f(x) y f(y) no lo tenes que acotar por nada cuando planteas el limite.

Hola! Estaba viendo lo que hicieron en el Ej. 4, pero seguro que \(\int_{0}^{\infty}f(x) < \infty \Rightarrow \int_{0}^{1}f(x) < \infty\)?

En el punto 3) ii) f tiene que ser estrictamente creciente, no alcanza con que sea creciente. Ya que si f(x)=0, F(xy)=0 constantes, y no tiene ningun punto silla.
Tambien funciona si f es estrictamente decreciente.
Cierto?