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[A corregir] Final 12/10/2011

8 respuestas 11511 visitas 2011-10-12

#1 Nami 2011-10-12 22:07

1) Sea$ f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} , $ $ C^{1}. $ Probar que f es diferenciable.

$ 2) Hallar el punto de la superficie $ S=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} / z^{2} = (x-1)^{2} + (y-1)^{2} \} $ mas cercanos al $ (0,0,0)

$$ Tomo $ g(x,y,z)= (x-1)^2 + (y-1)^2 - z^2 \Rightarrow $ $ S= \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} / g(x,y,z)= 0 \} $ es la superficie de nivel de g=0 $$

Tomo $ f(x,y,z) = \sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 } $ la funcion distancia al $(0,0,0).$ Como S no es compacto no puedo asegurar la existencia de maximos y minimos.

Tomo $ \overline{S} = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} / (x,y,z) \in S $ y $ 5 \leq z \} $. Luego $ \overline{S} $ es compacto y f alcanza maximos y minimos sobre esta superficie.

$ Usando multiplicadores de Lagrange queda: $ \bigtriangledown f = \lambda \bigtriangledown g

$ Ahorro las cuentas... Me quedan dos puntos del despeje: $ ( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} , \frac{1}{ \sqrt{2} } ) $ y $ ( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} , - \frac{1}{ \sqrt{2} } )

$ y uno mas por el borde $ ( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} , 5 )

$ Luego el minimo de f sobre $ \overline{S} $ es $ ( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} , \frac{1}{ \sqrt{2} } ) $ y $ ( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} , - \frac{1}{ \sqrt{2} } )

$ Si $ (x_0,y_0,z_0) \in S \backslash \overline{S} \Rightarrow 5 \leq z_0 \\ \Rightarrow \parallel (x_0 ,y_0, z_0) \parallel \geq \sqrt{ x^2 + y^2 + 25} \geq 5 \geq \parallel ( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} , \frac{1}{ \sqrt{2} } ) \parallel = 1

$$ Luego f restringida a S alcanza su minimo en $ \overline{S}$

3) Sea $ f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $ continua, y $ F(x,y) = \int_{0}^{y} \int_{0}^{x} f(s,t) $ ds dt. Probar que F(x,y) es diferenciable.

$ 4) Hallar el volumen encerrado entre las superficies $ \\ S_{1} = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} / z= 5 - x^2 - y^2 \} $ y $ S_{2} = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} / z= \sqrt{ x^2 + y^2 }\}

Este ejercicio no me convence mucho. Diganme que piensan.

$Tomo el cambio de variables polares: $ \\ x= r \cos \theta \\ y= r \sin \theta \\ z = z

$con $ 0 \leq \theta < 2 \pi $ y $ 0 \leq r \leq 5

\sqrt{ x^2 + y^2 } \leq z \leq 5 - x^2 - y^2 $ y reemplazando por el cambio de variables:$

r \leq z \leq 5 - 2r^2

$ Luego el volumen lo calculo como: $ \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{5} \int_{r}^{5-r^2} $ r dz dr $ d \theta

$\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{5} \int_{r}^{5-r^2} $ r dz dr $ d \theta = 2 \pi \int_{0}^{5} 5r- 2r^3 - r^2 $ dr $ = 2 \pi ( \frac{125}{2} - \frac{625}{2} - \frac{125}{3} )= 2 \pi \frac{-875}{3}$

Firma

{\large \boldsymbol {{N\!ami}}}\hspace{0.07cm}^{\bigstar}

#2 nachinchulin 2011-10-13 02:53

Hola Nami!
Paso a comentar lo que hice (obviamente sin escribirlo tan bien como vos jajaja)
Yo tomé el cambio de coordenadas de cilindricas como vos e hice la intersección de las dos superficies, es decir planteé un Zo tal que Zo pertenecía alas dos superficies y las igualé
Zo= R
Zo= 5-R^2
entonces me quedó que R^2+R-5=0 de ahí saqué dos R uno solo podia ser usado pues R es positivo (uno de los resultados da menor que cero)

entonces dije que tita se movia entre 0 y 2pi
z se movia entre 0 y 5
R se movia entra 0 y R(el que calculaste ese con la formulita loca de toda la vida... -b+- raiz de... etc)

entonces integré como siempre, con el jacobiano R.

No se si está bien. Yo ví las superficies como un cono que está apoyado enla punta y un paraboloide dado vuelta cuyo cero está en Z=5.........

Disculpen la NO utilización del lenguaje ese tan famoso que se usa acá para escribir las cosas... nose ni donde conseguirlo jajaja.

Espero sirva para la reflexión.

Nacho.

Firma

Equivocarse es inevitable, lo importante es que hacemos para solucionar esos errores.

#3 nachinchulin 2011-10-13 02:58

Ví la resolución del ejercicio 2. A mí me dió un solo punto que pertenecía a S. Era el (1/2;1/2;1/raíz de 2)... ovbiamente está mal... capaz me consideren algo del proceso.

El ejercicio 1 era el teorema, salía.
El ejercicio 3 es solo para entendidos... no soy uno de ellos.

Nacho.

#4 Mar 2011-11-03 01:05

Hola!!!!
Alguien puede darme una idea para escribir el 3??
Pensaba ver que las derivadas parciales de F son continuas, para así determinar que F es diferenciable, pero no sale,
aguardo respuestas

#5 Mar 2011-11-05 14:20

en el ej 3, qvq F es C1

Asi, por TFC, y por Fubbini, la derivada parcial de F(x,y) respecto de x es:
F(y)=$\int_{0}^{y}$f(x,t)dt
que es cont y derivable por TFC, ya que f es cont

Del mismo modo, la derivada parcial de F(x,y) respecto de y es
F(x)= $\int_{0}^{x}$ f(s,y)ds
que por TFC es continua tambien

Luego F(x,y) es C1, entonces es diferenciable

Espero sugerencias, gracias

#6 ragatsi 2011-12-19 05:10

Una consulta, en la pagina de la materia dice lo siguiente:

Se deben poder demostrar los enunciados que se hayan demostrado en las clases teóricas, a excepción de:

Teoremas sobre abiertos y cerrados
Regla de la cadena
C^1 implica diferenciable
Igualdad de las derivadas cruzadas
Propiedad del resto de Taylor de orden 2
Criterio del Hessiano para la clasificación de puntos críticos
Teoremas de la función inversa y de la función implícita
Función continua en un intervalo cerrado implica integrable

Y el ej1 no es justamente unas de las demostraciones que dijeron que no tomaban?

#7 nachinchulin 2011-12-19 05:26

El ejercicio 1 corresponde al final de antes del 12/10, al final de cuatrimestre cada catedrá (o conjunto de las mismas) toma la posta para tomar finales.
Es decir, a vos te toman los profesores que dieron el ultimo cuatrimestre de cursada (el verano cuenta como una continuación del 2do cuatrimestre). Ya en el primer cuatri del año que viene te toman los del verano.... se capta?

El ejercicio 1 lo tomaron los profesores que dieron clase en el 1er cuatrimestre, y toman lo que ellos quieren.
Los que toman ahora pusieron la lista de teoremas que NO van:

Se deben poder demostrar los enunciados que se hayan demostrado en las clases teóricas, a excepción de:

Teoremas sobre abiertos y cerrados
Regla de la cadena
C^1 implica diferenciable
Igualdad de las derivadas cruzadas
Propiedad del resto de Taylor de orden 2
Criterio del Hessiano para la clasificación de puntos críticos
Teoremas de la función inversa y de la función implícita
Función continua en un intervalo cerrado implica integrable

#8 ragatsi 2011-12-19 15:40

A que boludo, pensaba ke era el final del 13/12, lei MUY mal, gracias.

Lo que pasa es que yo tengo que rendir final ahora y quiero ssaber que tomaron!

Saludos

#9 Gisela 2011-12-25 20:23

Hola a todos! Estuve chusmeando y aprovechando este foro para preparar mis exámenes, y al fin decidi suscribirme para consultar...

En el punto 2, se tomó la superficie tal que el punto pertenezca a S y además 5 es menor o igual que z para tener un compacto. Sin embargo, en los puntos hallados, z=1/raiz de 2 y z=-1/raiz de 2, y ninguno de ellos es mayor que 5... por qué entonces me sirven esos puntos si no están en la superficie que tomé?

Además no sé cómo sale el del borde, porque ni me hago la idea de cómo es el gráfico... :S

Si me pueden ayudar se los agradezco porque tengo que rendir el martes y voy a entrar en crisis, jaja.

Gracias!