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Buenas, les dejo uno que no lo pude sacar, a ver si me tiran una mano.
Gracias de antemano, saludos.
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Alexis escribió:
Podrías probar \(\lim_{x\to +\infty}f'(x) =0\) ...
Es falso, podes verlo en un dibujo o
\(f(x)=1+\frac{\sin(x^2)}{x}\)
Quimey
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Yo, no sé si está bien, pero se me había ocurrido algo que es más sencillo a simple vista me parece.
En principio me parece que si no oscila podés decir directamente que la derivada en el infinito es cero, no?
Voy a suponer que sí, y entonces,
te armás una sucesión que siga más o menos fielmente los valores de f. Digamos \(x_n=f(n/1000)\).
Como f(x) tiende a 1, existe \(x_0\) tal que si \(x>x_0\) entonces \(1-\epsilon<f(x)<\epsilon+1\).
Entonces igualmente podemos decir que a partir de un \(n_0\) la sucesión está acotada, y en consecuencia podemos sacar de ella una subsucesión monotona y convergente. Y ahí más o menos ya estás hecho, esa subsuceción recorre valores de f para algunos \(n\) específicos, agarrás la suceción \(a_n\) que recorre esos valores de (en este caso) \(\frac{n}{1000}\) para los \(n\) de la subsuceción convergente que habíamos hecho, y entonces \(f(a_n)\) es monotona y converge en el infinito. Como ya no oscila, entonces la derivada sería cero.
Habría que refinar más algunas cosas pero bueno, no se si estará bien, demostrar cosas no es exactamente lo mío, en especial cuando hay sucesiones de por medio.
Me parece que no tiene mucho sentido lo que decís, la derivada se la tenes que calcular a f independientemente de la sucesión que tomes. En tu argumento f no cambia entonces seguís teniendo el mismo problema.
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a nachotee, lo tuyo está esencialmente bien (faltan completar un par de detalles)