FINAL 11/03/2011

Hola, alguien puede subir el final del 11/03?, o algunos ejercicios que recuerden?
gracias

Aca esta el final mar, pensalo y cualquier duda que tengas preguntame, yo hice todos menos el b y el c del primero y el 3 tengo dudas pero los demas creo que salieron.

Editado 1 vez.

Una pequeña corrección: en el 1) a) decía f´(x) > 0

Les dejo el 1) b) como lo resolvi yo
Voy a subir el resto cuando termine de pasarlos a LaTeX.

VERDADERO

Si tenes razon che, ahora lo corrijo y te creo la resolución del ejercicio.

el 1 b) es falso. por ejemplo la funcion f(x)= x-1/2, no es igual a 0 para todo x entre 0 y 1. pero la integral da 0 en ese trecho.

Uriel escribió:

Una pequeña corrección: en el 1) a) decía f´(x) > 0

Les dejo el 1) b) como lo resolvi yo
Voy a subir el resto cuando termine de pasarlos a LaTeX.

VERDADERO

1B.JPG

en esta resolución, para mi esta mal el decir que si g(a)= g(b), entonces g es constante entre a y b. y el contra ejemplo es el que puse acá arriba.

El 3 sale usando la definición de derivada parcial

Editado 1 vez.

Respecto del 1b), coincido con la resolución de Uriel.

Zeitune, me parece que el ejemplo que ponés no ayuda, porque es verdad que la integral vale 0 cuando los límites son 0 y 1. Pero el enunciado dice que la integral se tiene que anular para cualquier intervalo contenido en (0,1), fijate que si los límites son, por ejemplo 0, 1/2, la integral no se anula, por lo que el ejemplo no sirve.

edit: el 4 sale, como dice Uriel con absurdo y TFI

Editado 1 vez.

Respecto del problema 1:

para el b) hice exactamente la misma resolución que Uriel, y creo que está bien.

el a) puse que era FALSO, pues tomemos la función f(x) = x^3. Esta cumple con todas las hipótesis del enunciado: es derivable en R y estrictamente creciente PERO no es cierto que su derivada sea siempre mayor que 0, pues f ' (0) = 0 ya que es un punto de inflexión.

en el c) también puse que era FLASO. Si pensamos f(x) = sen(x), es una función cuya integral impropia tal como está enunciada converge a 0 (se ve facil, ya que cada período integrado da 0), sin embargo la función NO converge a 0 en el infinito, sino que oscila.

edit: creo que en el c) pifié, porque acabo de darme cuenta de que dice que el codominio es de 0 a +oo, con lo cual habría que integrar solo la parte superior de la función y eso diverge :S, con lo cual no sirve.

Mar escribió:

Respecto del 1b), coincido con la resolución de Uriel.

Zeitune, me parece que el ejemplo que ponés no ayuda, porque es verdad que la integral vale 0 cuando los límites son 0 y 1. Pero el enunciado dice que la integral se tiene que anular para cualquier intervalo contenido en (0,1), fijate que si los límites son, por ejemplo 0, 1/2, la integral no se anula, por lo que el ejemplo no sirve.

ah tienen razón, creo que yo leí "para algún a,b en [0,1]".

Yo el 4 lo resolví por absurdo con el Teorema de la función implícita (TFI)

F es c1, R^2 es abierto.
Supongamos que grad(F) != (0,0) (distinto) en (1,0)
Entonces por TFI existe un intervalo abierto I alrededor de 1 (y que lo incluye) y un intervalo abierto J alrededor de 0 (y que lo incluye)
Si Fy != 0 => existe G:I->J c1 / G(x) = y y F(x, G(x)) = 0 para todo x perteneciente a I
Si Fy = 0 => Fx != 0 => existe H:J->I c1 / H(y) = x y F(H(y), y) = 0 para todo y perteneciente a J
Cualquiera de los 2 casos es absurdo pues la función solo se anula en (1,0) y en (2,3) => grad(F) = (0,0) en (1,0)

De la misma manera para el punto (2,3)

PimientaJade escribió:

Respecto del problema 1:

para el b) hice exactamente la misma resolución que Uriel, y creo que está bien.

el a) puse que era FALSO, pues tomemos la función f(x) = x^3. Esta cumple con todas las hipótesis del enunciado: es derivable en R y estrictamente creciente PERO no es cierto que su derivada sea siempre mayor que 0, pues f ' (0) = 0 ya que es un punto de inflexión.

en el c) también puse que era FLASO. Si pensamos f(x) = sen(x), es una función cuya integral impropia tal como está enunciada converge a 0 (se ve facil, ya que cada período integrado da 0), sin embargo la función NO converge a 0 en el infinito, sino que oscila.

edit: creo que en el c) pifié, porque acabo de darme cuenta de que dice que el codominio es de 0 a +oo, con lo cual habría que integrar solo la parte superior de la función y eso diverge :S, con lo cual no sirve.

El a) yo lo hice igual, aunque un amigo me hizo notar que teniendo en cuenta q si |F(x) - F(y)| = |F'(c)|.|x-y| con c entre x e y
como F es creciente, F'(c) no puede ser nulo pues F(x) es distinto de F(y) y entonces |F(x) - F(y)| > 0.
Pero el no pudo encontrar un error en el contraejemplo x^3

En el c) yo lo comparé contra un serie cuya sucesión es igual a F, la cual se que solo converge si la sucesión tiende a cero y por eso F tiende a cero. Aunque la verdad no estoy muy convencido.

Habra que esperar hasta mañana para saber.

edito: 1a)FALSO, la explicación está más abajo

Editado 3 veces.

El 5 me daba eso (aunque no me acuerdo si el 2 se cancelaba o no, pero es algo menor). Se resolvía pasando a polares con 2<r<3 y el angulo entre pi/2 y pi.

En el 2do:
grad(F)(1,0) = (0,0).
Alfa la podes pensar como 2 funciones y ambas tienen derivadas pues es c1, Alfa = A = (A1,A2) => A' = (A1', A2')
Entonces cuando aplicabas la regla de la cadena al derivar te queda 0.A1'+0.A2' = 0
Y que no es diferenciable se veia con la recta x=y+1 (vale remarcar que en el punto la funcion vale 0 y el gradiente tambien)

El 3 yo lo resolvi con multiplicadores de Lagrange, porque es un máximo en el borde del conjunto.
Te daba que Fy = 0 y Fx = 2.Lambda.
Y Lambda no podía ser negativa xq de otra forma existe una dirección v y un punto P = (1,0) + t.v (P pertenece a D para un t chico) y F(P) > F(1,0) pues el gradiente es la dirección de maximo crecimiento y P = c.[grad(F)(1,0)] con c > 0 perteneciente a R
Pero esto es absurdo pues (1,0) es maximo absolute de F
Entonces Lambda >= 0
Entonces Fx(1,0) >= 0

Con el 3 me quedo algo de duda de si estaba bien. Mañana lo actualizo con el veredicto final

El 5 les da 2pi(ln3-ln2)?

Creo que me di cuenta del error, borré lo que habia escrito antes para evitar confusión
Saludos 😛

Editado 1 vez.

Uriel yo el 4 lo hice exactamente igual que vos, y el ultimo me da lo mismo que a ustedes.

El problema con la "demostración" del 1)a) es que tenes que demostrar que f'(c)>0 para todo c, pero el teo. de lagrange te dice que existe un c que depende de a y de b tal que f(b)-f(a)=f'(c)(b-a). De ningún modo podés garantizar que lo probaste para todo c. Por ejemplo en el caso de \(x^3\):

Por lo tanto el c que sirve es \(c=\sqrt{\frac{b^2+ab+a^2}{3}}\). No es muy difícil probar que c no es cero a menos que a=b=0.

Espero que se entienda, cualquier duda pregunten.

Firma

Quimey

en el 2 no podias usar regla de la cadena porque justamente f no es diferenciable en (1,0).

holaa.una pregunta..quien tomo este final?
gracias!

Pregunta para el 1. a) El hecho de que f sea creciente y no "estrictamente creciente" me dice que puedo encontrar dos puntos a y b tales que f(a) = f(b) y teniendo en cuenta que si a es distinto de b, entonces

f(b) - f(a) = f'(c).(b-a)... ---> f'(c) = 0

Ahora, si f fuera estrictamente creciente, f' (x) > 0 para todo x?

No, ejemplo \(x^3\)

claro \(x^3\) es estrictamente creciente u.u me costó verlo xD

Hola!!!!!!
Quiero hacer una pregunta respecto del 2,
Coincido con Zeitune que no se puede usar regla de la cadena, pues f no es diferenciable en (1,0),
Entonces, estudio la derivada, (por definición) de la composición, y quisiera ver que esta derivada existe para t=0, y que esta función derivada es continua en un entorno del 0 para poder asegurar que la composición es derivable en 0.
Algo no me sale cuando lo intento, me pueden ayudar?????
gracias

No es necesario (y supongo que no debe ser cierto) ver la continuidad de nada. Solo chequeas por definición que existe la derivada de la composición.

Si te trabaste en la demostración escribí lo que hiciste y te ayudo.

Mm yo tampoco estoy seguro qué hacer, una verguenza, pero buen. Me serviría más que directamente me muestres como es, pero lo que yo hice es (no mucho)
Ya ví que f no es diferenciable.. y después, la derivada por definición.

Me marea la composición, no estoy seguro qué hacer.. en principio se me ocurre quizás (aunque es una idea medio loca) que si aplicás Lagrange a alpha, \(\alpha_{(h)}=h.\alpha'(c) + \alpha_{(0)}\) Y que como alpha es C1 es derivable y podemos suponer \(\alpha'(c) = (s,k)\) Con lo cual lo que nos quedaba más arriba sería una de las derivadas direccionales de f en el (1,0), más explicitamente, en la direccion (s,k), pero no creo poder asegurar que todas existen, y de hecho, se me hace que no es siquiera cierto. En fin, espero ayuda.

\(Edit:\) Bueno, eso me pasa por no hacer las cuentas jaja. Si operan bien el limite con eso que me quedó a mí, llegan a un límite que existe, así que ya está. (En partícular me quedo \(\frac{k.s^2}{k^2+s^2}\) pero puedo haber hecho mal alguna cuentita, lo importante es que dá)
Preguntaría si está bien como lo planteé, aunque me parece que sí, es medio raro pero no le veo nada incorrecto.

Habría que ver como escribís bien lo de Lagrange pero me parece correcto.

perdon, en el 2, por mas q la funcion no sea diferenciable puede existir su diferencial (en este caso gradiente), yo calcule el gradiente por definicion en (1;0) y me dio el (0;0) entonces existe, y como alfa es C1 entonces tmb existen sus derivadas para todo t perteneciente al intervalo en cuestion, y como 0 pertenece al intervalo en cuestion, entonces la derivada de alfa existe en 0, entonces aplicando regla de la cadena a f compuesta con alfa me queda un producto de cosas que existen entonces existe la derivada de la composicion, o no?? no recuerdo que sea condicion necesaria que la funcion sea diferenciable para aplicar regla de la cadena
me dejaron con la duda, si alguien me puede dejarme tranquilo se los agradeceria!

La verdad es que no me acuerdo la regla de la cadena pero wikipedia dice que necesitas que sea diferenciable
http://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule ... dimensions

OJO! El gradiente no es lo mismo que la diferencial, y si no es diferenciable me parece que no se acostumbra a hablar de "la diferencial".

en todo caso igual estoy aplicando regla de la cadena a f compuesta con alfa, y no sobre f, nunca podria saber si f compusta con alfa es derivable o no... f no es dif, pero sus derivadas parciales existen, las de alfa tmb, no es suficiente?

En el articulo de wikipedia que puse dice claramente que las dos funciones deben ser diferenciables, aunque no soy experto y puede que valga sin esas hipótesis pero si vos usas un teorema y no chequeas las hipótesis el ejercicio está mal.

Fijate que además, si usas la regla de la cadena obtenés que la derivada de la composición con cualquier alpha da cero, lo cual se contradice con lo que yo obtuve.
En partícular fijate que alpha podría ser una recta que va hacia el (1,0), digamos, \(\alpha(t)=(1,0) + t(1/\sqrt2, 1/\sqrt2)\) y en ese caso cuando haces la cuenta de la derivada por difinición, lo que te queda es exactamente la de la derivada direccional en la dirección de la recta alpha, lo que vos estas afirmando entonces, es que aunque f no sea diferenciable, el producto del gradiente con vector de dirección V [que es lo que te queda si usas regla de la cadena] siendo V el vector director de la recta, que podemos suponer de norma uno para simplificar las cosas, va a darme la derivada direccional en ese sentido, cuando claramente se necesita pedir que f sea diferenciable para que eso valga.

Muchas gracias por las respuestas!!!!!!
No me daba cuenta de escribir \(\alpha\)(h) usando Lagrange, entonces no podía avanzar.

Ahora sí justifico:
Primero: NO se puede usar regla de la cadena, de esto estoy segura, pues para poder usarla es necesario que \(\alpha\) sea diferenciable en R, (que lo es), y que f sea dif. en \(\alpha\)(t). Como \(\alpha\)(0)=(1,0), y f no es dif. en (1, 0), no se puede derivar usando regla de la cadena, por eso hay que componer y hacer por definición.

Segundo:Justifico Lagrange: \(\alpha\) es C1 en R, así que es derivable en R, entonces continua en R.
En particular lo es en [0,h], h en R. También \(\alpha\)es derivable en (0,h), Así, por Teo. Lagrange, Existe c en (0,h):
\(\alpha\)(h)=h\(\alpha\)´(c) +\(\alpha\)(0)
Sea (\(\alpha\))´(c)=(s,k)
(\(\alpha\))´(c) es distinto de (0,0) pues de lo contrario \(\alpha\)(h)=
=\(\alpha\)(0), y esto no puede ser(hipótesis)

Ahora sí, tal cual lo hace Nachote,(sólo difiero algo en el resultado) hago la cuenta, y llego a

Por lo tanto la derivada de f0\(\alpha\)(0) existe, como queríamos demostrar.

Sigue faltando justificación, el problema es que el "c" que te da lagrange depende de h. Para cada h fijo existe un c que va cambiando. Podes pensar que c es una función de h (o sea c=c(h)), pero OJO! no sabés a priori que c sea continua solo sabés que c<h. No importa, s y t también son funciones de h y calculas el límite usando sandwich (creo).

Pero c esta entre 0 y h, asi que cuando h tiende a cero (como en el límite) alpha de 'c' tiende a la derivada de alpha en 0. Es más, inclusive si no fuera así, como solo nos interesa decir que el límite existe, y sabemos que alpha es derivable en cualquier lado de su dominio, realmente no importa quién sea c o en donde esté, lo que importa es que existe.
Y qué más hay que justificar? Alpha es una curva de R a R2, que si querés la podes ver como dos funciones de R en R, como es diferenciable es continua y de R en R se le puede aplicar lagrange a ambas coordenadas, con lo que podrías sacar el mismo resultado, si no te gusta trabajar con curvas.

Si, es necesario que sea 0 porque vos queres despues mostrar alguna formula, ademas puede ser que el limite no exista (en realidad no, por lo que dijiste antes)

Igual me acabas de hacer notar otro error:
http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value ... _functions

NO VALE lagrange para curvas!!

Mmm tenés razón, está mal aplicado. Igual insisto que redefiniendo bien, se puede aplicar (en este caso) con la misma utilidad.
si notamos que \(\alpha(t)=(a_1(t), a_2(t))\) con \(a_1 , a_2\) funciones de R->R
Tenemos que la curva alpha es \(\alpha(t)= P + t.(Q - P)\) siendo \(P=(p_1, p_2) Q=(q_1, q_2)\) Entonces,
\(a_1(t)= p_1 +t(q_1 - p_1)\) por otro lado \(a_2(t)= p_2 +t(q_2 - p_2)\)
Hay que notar que tanto \(p_1\) como \(q_1\) son reales. Por lo tanto denuevo tenés una función que llega a los reales, para las cuales por separado vale Lagrange. Osea, lo que podemos afirmar es que,
\(a_1(h)=a_1'(s).h - p_1\) Siendo \(p_1=a_1(0)\) E igualmente \(a_2(h)=a_2'(k).h - p_2\)
Teniendo en cuenta que s y t no tienen nada que ver entre sí, pero ambos están entre h y 0.
Haciendo esa construcción, si no me equivoco llegás a lo mismo que dije yo, solo que lo expresé mal, porque lo que te queda no es el gradiente de \(\alpha\).

Edit: Uy no estaba prestando atención y no me di cuenta que te decía que alpha era cualquier curva. Hmmmm, la demostración así como está, está mal hecha para cualquier curva, pero separando alpha en 2 funciones ambas continuas de R en R, igual deberías poder llegar al mismo resultado se me hace, no? La diferenciacion que hace Lagrange para curvas, es que no vale para un \(\alpha'(c)\) pero si evaluas la derivada de cada coordenada en lugares distintos, supongo que si podés aplicarlo. (El problema es que se me hace que en general no tiene demasiada utilidad).
Si se te ocurre alguna manera de ver que esté mal decime.

Editado 3 veces.

Alfa no es un segmento, eso está mal también, intentá escribir todos los detalles asi queda y lo aprendés (con epsilon y delta me refiero).

No tan rápido! Estaba editando, jeje. Igual ya rendí hoy así que chau análisis. Ahora me instalo en el foro de álgebra.