Buenas, estuve un rato largo peleándome con este ejercicio, pero no me queda del todo claro si está bien resuelto, y quizás no tengo el suficiente argumento teórico requerido en un final. Agradecería mucho si le pueden pegar una revisada y decirme que está bien y qué está mal.
- Sea \(S \subset {\mathbb{R}}^{3}\) la superficie definida implícitamente por \(S = \{(x, y, z)\ \in {\mathbb{R}}^{3} : {x}^{2} + {y}\sin(x) + xz + \frac{{z}^{2}}{2} = {\pi}^{2}\}.\)
Hallar todos los puntos \({P}_{0} \in S\) tales que el plano tangente a \(S\) en \({P}_{0}\) sea ortogonal a \((1, 0, \pi)\)
La idea es la siguiente: como \(\bigtriangledown f({P}_{0})\) es normal al plano tangente a \(S\) en \({P}_{0}\), definiendo \(R = (1, 0, \pi)\) dado, tal que \(R\) sea ortogonal al plano tangente, alcanza con hallar \({P}_{0} = (x, y, z)\) tal que \({P}_{0}\) y \(R\) sean paralelos, entonces:
Entonces, me quedan definidas las siguientes ecuaciones:
(1). \(2x + y\cos(x) + z = \lambda\)
(2). \(\sin(x) = 0\)
(3). \(x + z = \lambda \pi\)
(4). \(2{x}^{2} + 2{y}\sin(x) + 2xz + {z}^{2} = 2{\pi}^{2}\)
de (2) obtengo que \(x = k \pi\) con \(k \in \mathbb{Z}\)
de (3) \(z = \lambda \pi - \k \pi\)
Reemplazando en (4), como \(\sin(x) = 0\), me queda:
haciendo cuentas llego a que \({\lambda}^{2} = 2 - {k}^{2} \Rightarrow \lambda = \pm \sqrt{2 - {k}^{2}}\)
y como \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = -1, 0, 1\) y reemplazando para obtener los valores de \(\lambda\) me quedan los pares \((x, z) = (-1, 1); (-1, -1); (0, \sqrt{2}); (0, -\sqrt{2}); (1, 1); (1, -1)\)
Me falta reemplazar en (1) para obtener los valore de \(y\), pero me dio p*ja (fiaca).
Está bien la idea? me falta alguna justificación? Como en el parcial tuve un ejercicio similar y no estuvo del todo bien, me quedan muchas dudas al respecto, sobre todo cuando me plantean cosas del tipo de superficies definidas implícitamente...
Saludos