final 21/12/2010

Hola! acá les dejo el final que nos tomaron hoy, está colgado también en la página de la materia.
Saludos!

http://cms.dm.uba.ar/academico/materias/2docuat2010/analisis_1_M/Final%2021-12%20(dg).pdf

Estuvo más jodido que el del 14, o es mi impresión? Igualmente le di una leída rápida pero me dejó más preocupada que el otro.

No parece mucho más jodido. Son cosas distintas. Es un poco más largo para mi. Pero creo que sale. Después si tengo tiempo subo como los resolvería.

Saludos....

Buenísimo. Personas que lo rindieron me comentaron que fue bastante complicado.

yo tambien rendi hoy y me parecio mucho mas jodido que el del 14... igual creo que sale despues de pensarlos un poco. no tengo mucho tiempo de escribir las respuestas, asique les dejo una idea para cada ejercicio, o por lo menos lo que hice yo:

1)a) las derivadas calcularlas por definicion (hacer el limite) y obvio dan lo que dicen ahi...
b) usar el limite de vuelta. una da -1 y la otra 1 asique son distintas.
c) plantear el limite de diferenciabilidad, a mi me dio que no era c1
d) yo lo probe por el contrareciproco de schwarz que dice q si la funcion es c2 las derivadas cruzadas son iguales, pero probaron en el punto b que son distintas, asique no es c2.

2)a) usar multiplicadores de lagrange, queda solo resolver una cuadratica y encontrar que el punto (raiz de k, raiz de k) es el minimo.
b) usar que el minimo de la funcion siempre es menor o igual que la funcion asique solo queda pasar un 2 dividiendo y ya esta.

3. yo hice 2 cambios de variables, ni idea si salia haciendo algo mas facil. primero u= x/a y v= y/b. sale facil el jacobiano y volver a definir el area de integracion que queda un circulo, asique use polares y dsp de un poco de laburo sale.

4. usas el teorema de lagrange y como la funcion es continua, la derivada esta acotada por un numero real, por lo tanto vale la desigualdad, solo hay que pasar multiplicando la parte de abajo y queda lo que habia que probar.

5)a) hay que componer las 2 funciones y ahi usar bolzano, sale facil.
b) hay que usar el teorema de la funcion implicita porque el gradiente no se anula en el punto, entonces se puede despejar y te queda una curva donde vale lo que piden.

perdon por no usar latex!

saludos!

yo en el 5 b) lo que dije fue que como el gradiente no es nulo, y la función es \(C^1 \rightarrow diferenciable\) existe un vector v ortogonal al gradiente tal que la derivada direccional es 0 puesto que al ser diferenciable se puede calcular con el producto escalar. Entonces existe una recta \(\mathbb{L}: (1,2) + tv\) para algún intervalo de t donde, puesto que la derivada direccional es 0, la función no crece, con lo que sigue valiendo 0. No sé si estará bien, fue lo que se me ocurrió en el momento.

Saludos!

Por casualidad el \(3)\) te dió \(\frac{2}{3}ab\)??

Yo al 3) lo hice con polares y me dio:

\(\frac{a^{2}b^{2}}{2}\), corríjanme si ven algo mal.

Básicamente lo que hice fue tomar:

el determinante me dio: \(a.b.r\)

entonces me quedó la siguiente integral:

y ahí saco para afuera de la integral \(a^{2}.b^{2}\)

quedándome:

entonces

en el 4) lo que hice fue lo siguiente:

Como f es C1, puedo utilizar el teorema del valor medio, es decir:

tomando ahora:

a mi el 3 me dio lo mismo que a franer, hoy nos devolvieron el final y daba eso! sobre lo otro que puse arriba, no se si es la mejor forma de hacerlos pero esas cosas estan bien!

saludos!

Tenes razón del 3, me equivoque en una cuenta 😛 Pero el camino estaba bien. También lo hice con polares.

Saludos.

Aca esta pasado a latex, cualquier error avisen

**Una pregunta con el 3
Porque viendo como quedo el límite de integración y la funcion cos.sen la integral me da cero.

me estoy comiendo algo? que no veo?**

Te estás comiendo el módulo. No sé como lo habrán hecho otros. Yo multipliqué y diviidí por 2 y me quedó \(|2cos(\theta)sen(\theta)| = |sen(2\theta)|\) que si hacés el gráfico, integrarla entre 0 y 2pi, es 4 veces integrarla entre 0 y pi/2. Ahí sale. Justamente, te da 0 porque es periódica y la parte negativa es igual a la positiva, pero con el módulo te queda toda el área positiva.

Holaa estaba viendo el ejercicio 5 b y aca alguien sugirio usar funcion implicita , pero no deberia ser el gradiente de f distitno de 0 para todo x,y perteneciente a r2 asi f(p)= 0 para todo p pertenciente a r2 ?

Otra pregunta si una funcion es c2 entonces significa que sus derivadas cruzadas son iguales , pero si sus derivadas cruzadas no son iguales entonces esa funcion no es c2 , no ?

guliver escribió:

Holaa estaba viendo el ejercicio 5 b y aca alguien sugirio usar funcion implicita , pero no deberia ser el gradiente de f distitno de 0 para todo x,y perteneciente a r2 asi f(p)= 0 para todo p pertenciente a r2 ?

Lo que te pide el ejercicios es que pruebes que hay infinitos puntos P tales que f(p) = 0, no que f (x, y) = 0 para todo (x, y).
Usando implícita tenés un entorno alrededor del (1,2) (donde no se anula el gradiente), con infinitos puntos P dentro de ese entorno que satisfacen f(P) = 0.

Así es como lo entendí yo.

Franer escribió:

en el 4) lo que hice fue lo siguiente:

$$|f(x) - f(y)| = |f(x) - f(y) + f(a) - f(a)|\; (x,y) \;\varepsilon [a, b]$$

Como f es C1, puedo utilizar el teorema del valor medio, es decir:

$$f(x) - f(a) = \displaystyle\frac{df}{dx}(c).(x - a) \;\;\; con\; c \;\varepsilon (a,x)$$

$$f(a) - f(y) = \displaystyle\frac{df}{dx}(s) (a - y) \;\;\; con\; s \;\varepsilon (a,y)$$

$$|f(x) - f(y)| = |f(x) - f(y) + f(a) - f(a)|\; = |\displaystyle\frac{df}{dx}(c) (x-a) + \displaystyle\frac{df}{dx}(s) (a-y)|$$

tomando ahora:

$$M = max\{\displaystyle\frac{df}{dx}(c)\; ; \displaystyle\frac{df}{dx}(s)\}$$

\(|\displaystyle\frac{df}{dx}(c) (x-a) + \displaystyle\frac{df}{dx}(s) (a-y)| \leq M|(x-a)+(a-y)| = M |x-y|\)

Quee taal, estaba viendo este final y no me sale el ejercicio 4) y me puse a ver lo que había hecho Franer.

Hay algo que no me cierra cuando aplicas valor medio en [a,y]:
Como f es C1 en todo R, podes decir que en [a,y] es C1 y aplicas valor medio en ese intervalo.

entonces: \(f(y) - f(a) = \displaystyle\frac{df}{dx}(s) (y - a) \;\;\; con\; s \;\varepsilon (a,y)\)

Que no es lo que planteaste, lo que no me cierra es como es que podes dar vuelta las cosas y que siga valiendo.
Se me ocurrió usar desigualdad triangular para repartir el modulo y decís que:

pero después no se me va la a y no puedo terminarlo :S ¿tiene sentido lo que digo, o hay algo que no estoy atrapando?

Franer escribió:

guliver escribió:

Holaa estaba viendo el ejercicio 5 b y aca alguien sugirio usar funcion implicita , pero no deberia ser el gradiente de f distitno de 0 para todo x,y perteneciente a r2 asi f(p)= 0 para todo p pertenciente a r2 ?

Lo que te pide el ejercicios es que pruebes que hay infinitos puntos P tales que f(p) = 0, no que f (x, y) = 0 para todo (x, y).
Usando implícita tenés un entorno alrededor del (1,2) (donde no se anula el gradiente), con infinitos puntos P dentro de ese entorno que satisfacen f(P) = 0.

Así es como lo entendí yo.

Pero P no esta en R^2? Osea, P es de la forma (x,y) y el teorema te habilita a hacer un despeje tipo f(x)=y. Que en ese caso, te quedaria f(1)=2 y f(2)=1 (osea, que ninguno serviria). No seria así? O capaz hay algo que no me termina de cerrar...

que taaal! che nos sentamos con una amiga a hacer el final y ya el primero se nos complico je, tenemos problemas de conceptos.. no tenemos muy en claro que significa que una funcion sea C1 o C2 y por ende tampoco como se demostraria.. leimos en la rotonda pero no nos fue de mucha ayuda.. si alguien nos pudiera dar una mano seria GENIAL! bueno muchas gracias!!

MrZapallita escribió:

que taaal! che nos sentamos con una amiga a hacer el final y ya el primero se nos complico je, tenemos problemas de conceptos.. no tenemos muy en claro que significa que una funcion sea C1 o C2 y por ende tampoco como se demostraria.. leimos en la rotonda pero no nos fue de mucha ayuda.. si alguien nos pudiera dar una mano seria GENIAL! bueno muchas gracias!!

Una función es de clase C1 cuando sus derivadas parciales existen y son continuas. Para C2 las segundas derivadas, C3 las terceras y así sucesivamente.
Aparte, si es de clase C1 en un abierto U => Es diferenciable en todos los puntos de U. 😄

Se van a presentar el 22? (creo que era 22 jajaja)

Pupi escribió:

Franer escribió:

guliver escribió:

Holaa estaba viendo el ejercicio 5 b y aca alguien sugirio usar funcion implicita , pero no deberia ser el gradiente de f distitno de 0 para todo x,y perteneciente a r2 asi f(p)= 0 para todo p pertenciente a r2 ?

Lo que te pide el ejercicios es que pruebes que hay infinitos puntos P tales que f(p) = 0, no que f (x, y) = 0 para todo (x, y).
Usando implícita tenés un entorno alrededor del (1,2) (donde no se anula el gradiente), con infinitos puntos P dentro de ese entorno que satisfacen f(P) = 0.

Así es como lo entendí yo.

Pero P no esta en R^2? Osea, P es de la forma (x,y) y el teorema te habilita a hacer un despeje tipo f(x)=y. Que en ese caso, te quedaria f(1)=2 y f(2)=1 (osea, que ninguno serviria). No seria así? O capaz hay algo que no me termina de cerrar...

Yo tampoco entiendo muy bien cómo sale con implícita. Si te sirve y no leíste más arriba te dejo el quote de cómo lo hice yo y me lo pusieron bien en el final.
Abrazo!

IvanMB escribió:

yo en el 5 b) lo que dije fue que como el gradiente no es nulo, y la función es \(C^1 \rightarrow diferenciable\) existe un vector v ortogonal al gradiente tal que la derivada direccional es 0 puesto que al ser diferenciable se puede calcular con el producto escalar. Entonces existe una recta \(\mathbb{L}: (1,2) + tv\) para algún intervalo de t donde, puesto que la derivada direccional es 0, la función no crece, con lo que sigue valiendo 0. No sé si estará bien, fue lo que se me ocurrió en el momento.

Saludos!

Pupi escribió:

Una función es de clase C1 cuando sus derivadas parciales existen y son continuas. Para C2 las segundas derivadas, C3 las terceras y así sucesivamente.
Aparte, si es de clase C1 en un abierto U => Es diferenciable en todos los puntos de U.

Se van a presentar el 22? (creo que era 22 jajaja)

estemmm es la idea.. pero un final como este nos saca las ganas la verdad..vos tmb?? ah gracias!! justo lo habiamos descifrado y vos lo confirmaste jeje..

SANTI escribió:

c) plantear el limite de diferenciabilidad, a mi me dio que no era c1

cheee en el 1 c.. porq curva probaste q no te da diferenciable?? o q hiciste?? gracias!!

MrZapallita escribió:

SANTI escribió:

c) plantear el limite de diferenciabilidad, a mi me dio que no era c1

cheee en el 1 c.. porq curva probaste q no te da diferenciable?? o q hiciste?? gracias!!

Ahi uso el Teorema de Schawrz que dice (a grandes rasgos) que si las derivadas cruzadas existen y son continuas , entonces son iguales. Osea Fxy = Fyx.
Entonces como en el punto b) ya probaste que son distintas sabes que no es C2.
Y listo 🙂

Pupi escribió:

Ahi uso el Teorema de Schawrz que dice (a grandes rasgos) que si las derivadas cruzadas existen y son continuas , entonces son iguales. Osea Fxy = Fyx.
Entonces como en el punto b) ya probaste que son distintas sabes que no es C2.
Y listo

si siii pero eso es para C2 si no me equivoco... yo decia como probo que no era C1! y ademas usando diferenciabilidad!! me entendes lo q digo!!?

Ah, ahí me dio que era C1 a mi jajaja

Hola, saben si se mantiene el modo de evaluaciòn, o sea pràctico, para estas fechas de febrero?

Santi para saber si es de la funcion es c1, que no sea diferenciable no te dice nada porque las derivadas parciales podrian existir igual entonces para saber si es c1 tenes que calcular los limites de las derivdas parciales respecto de los ejes x e y en el (0,0) pues en el resto es de c1 por ser un cociente de funcikones c1
Cuando haces los limtits te dan los dos cero creo, por lo tanto es la funcion es c1.

Hola a todos, sobre la preg. 4 del 21/12; una sugerencia alternativa para aquellos que aún no les sale, yo usé este teo: toda func contínua en un cerrado; es una func uniformemente contínua, entonces entre muchas cosas, se cumple que su derivada es acotada, y luego usas el teo del valor medio de lagrange y listo!...(no tenés que meterle otra letra)

hola, qeria saber si alguien me podia dar una mano y explicarme como hacer el 5 a) y si se puede en latex como es q la la integral del modulo de cos.sen da 2? gracias...

Hola; para el 5 a) solo tené que darte cuenta que la función compuesta de f con la trayectoria, va de cero a uno (cerrado) a R; y como es continua y derivable, le aplicas el teorema de los valores intermedios. y para el b) aplicas el teo. de la func. implícita, pero solo para f.

Hola, les hago una pregunta... El 4to no se puede hacer asi:

Como f es c1; es derivable... Entonces existe la derivada en todo punto... Escribo la derivada en Y ....>

Lim (F(x)- F(y))/ x-y) = H ( numero real)
x-->y

Entonces... el modulo de (F(x)- F(y))/ x-y) es igual a /H/... En donde claramente tomando un M > /H/ Se cumple la desigualdad...

Esta bien eso???

Hola, quisiera redondear lo que obtengo en el 1.c, para ver si coinciden conmigo, o no.

f es de clase C1 porque las derivadas parciales en (0,0) existen y son fciones continuas (ambas valen 0). En el resto del dominio es C1 por ser composición de C1. Luego f es C1 en todo el plano.
Luego, f es diferenciable en todo el plano.

Por otro lado, y aunque no lo piden, si quisiera ver que es diferenciable, acotando , llego a que basta tomar delta=epsilon para que el limite sea cero, y f resulta diferenciable.

Aguardo sus comentarios.

Otra consulta, esta vez respecto del 2a:

Usando mult de Lagrange encuentro un único candidato que sirve, que es (raiz de k, raíz de k), el otro lo descarto porque las coordenadas son negativas.
Ahora, para determinar que es un mínimo, veo el valor de la función, en (raíz de k sobre 2, 2 raíz de k), que está en la curva que piden, y esto resulta ser 5/2 k que es mayor que 2k.
Concluyo que (raíz k, raíz k) es un mínimo.

HAY UNA FORMA MEJOR DE DETERMINAR QUE ES UN MINIMO??????
Aguardo respuestas

mariaclaudia71 escribió:

Hola; para el 5 a) solo tené que darte cuenta que la función compuesta de f con la trayectoria, va de cero a uno (cerrado) a R; y como es continua y derivable, le aplicas el teorema de los valores intermedios. y para el b) aplicas el teo. de la func. implícita, pero solo para f.

hola....no entiendo bien como aplicando el teorema de valores intermedios se resuelve el punto a).....o sea entiendo que f compuesta con la trayectoria cumple con las condiciones para aplicar el teorema pero no veo como eso resuelve el ejercicio...en un principio se me cruzo la idea de q este ejercicio era d inversa....pero como dicen q sale con este teorema...me maree jaja
agradeceria si alguien q lo entendio me lo pudiera explicar....
Gracias!

Mar escribió:

Otra consulta, esta vez respecto del 2a:

Usando mult de Lagrange encuentro un único candidato que sirve, que es (raiz de k, raíz de k), el otro lo descarto porque las coordenadas son negativas.
Ahora, para determinar que es un mínimo, veo el valor de la función, en (raíz de k sobre 2, 2 raíz de k), que está en la curva que piden, y esto resulta ser 5/2 k que es mayor que 2k.
Concluyo que (raíz k, raíz k) es un mínimo.

HAY UNA FORMA MEJOR DE DETERMINAR QUE ES UN MINIMO??????
Aguardo respuestas

A mi se me ocurrio esto...aclaro q no se si esta bien...
el unico candidato es (raiz de k, raíz de k)lo encontre de la misma manera q vos....ahora para ver si es minimo o sea si f(x,y)> f((raiz de k, raíz de k) = 2raiz de k para todo (x,y) q pertenece al conjunto tomo una funcion auxiliar g(x,y) = f(x,y) - 2 raiz de k y veo cuando g(x,y) es mayor q 0.
Para esto lo q hice fue evaluar g(x,y) en (k/x,k/y) pues los (x,y) del conjunto tienen esa pinta y a mi me interesa analizar solo en este conjunto.... me quedo...
g((k/x,k/y)= f(k/x,k/y) - 2 raiz de k = k - 2 raiz de k = k(1-2/(raiz de k)) >0 esto se cumple si y solo si [k>0 y (1-2/(raiz de k)) >0]o [k<0 y (1-2/(raiz de k)) <0]esta ultima parte no la tengo en cuenta por q por el enunciado se que k>0 por lo tanto miro solo la primera posibilidad....
despejando de (1-2/(raiz de k)) >0 me quedo q k>4...por lo tanto debe ser k>0 y k>4.. me quedo con k>4 (pues cumple k>0)... finalmente con esto llego q si k>4 q(x,y) >0 y por lo tanto f(x,y) > 2 raiz de k para todo (x,y) del conjunto....
es decir 2 raiz de k con k>4 es minimo de la funcion sobre el conjunto...

no se si se entendio mi planteo...aguardo cualquier comentario...
saludos!