Tema
Hola! Estoy preparando el final de Análisis I para el 28 de diciembre y haciendo parciales viejos encontré este ejercicio y no se me ocurre por donde encararlo. Disculpen, no se escribir en LaTex
Sean f,g : R -->R de clase C1 que satisfacen
a) f(0)=g(0)
b) f(0)< g(0)
Probar que existe h>0 tal que
si 0<t< h entonces f(t)< g(t)
si -h<t<0 entonces f(t) > g(t)
Si me pueden dar una mano se los re agradezco!
hago la primera y te dejo la segunda, igualmente es análoga.
sabemos que \(f'(0) < g'(0)\) luego como ambas son continuas pues \(f,g\) son \(C^1\) entonces \(\exists h \in \mathbb{R}_{>0} /\) si \(x \in \left[ 0, h \left) \Rightarrow f'(x) < g'(x)\) y ahora usamos lagrange. tomamos \(t/ 0< t < h\) luego \(\frac{f(t) - f(0)}{t} = f'(c) < g'(d) = \frac{g(t) - g(0)}{t}\) para algún \(c\) entre \(0\) y \(t\) y para algún \(d\) entre \(0\) y \(t\).\(\Rightarrow \frac{f(t) - f(0)}{t} < \frac{g(t) - g(0)}{t}\) ahora multiplicamos por \(t\) en ambos lados y como \(t\) es positivo no cambia la desigualdad. entonces \(f(t) - f(0) < g(t) - g(0)\) y ahora usamos que \(g(0) = f(0)\) luego \(f(t) < g(t)\)
Muchas Gracias!
Se me paso lo de usar Lagrange