Este es el final que tomaron hoy. No me lo acuerdo textualmente, si alguien encuentra algun error o que falta algo, que me avise. Era más o menos así:
1)Sea \(f:R^{2} \rightarrow R\), definida como:
$$f(x,y)=\begin{Bmatrix} -(x^{2}+y^{2}) & \mbox{ si }& x^{2}<y<2x^{2}\\x^{2}+y^{2} & \mbox{si}& y\leq x^{2} \ \ o \ \y \geq 2x^{2}\end{matrix}$$
a) Demostrar que f es diferenciable en (0,0)
[lo recuerdo más como algo del tipo "ver si f es diferenciable en (0,0)"]
b) Sea \(v\in R^2 - \{(0,0)\}. Y \varphi:R \rightarrow R\) definida como \(\varphi (t)=f(tv)\). Probar que \(\varphi\) alcanza un mínimo local en t=0. ¿Puede concluirse que f alcanza un mínimo local en \((0,0)\)?
2)Sea \(f:R^{2} \rightarrow R\), para cada \(P\in R^{2}\), existen \(\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(P)\) y \(\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(P)\) y son continuas. Demostrar que f es diferenciable en cada punto \(P\in R^{2}\).
3)Indicar la validez de las siguientes afirmaciones:
a) \(\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x) = 0} \Longrightarrow{\int_0^{+\infty} f(x)dx}\) converge
b) \(\int_0^{+\infty} f(x)dx\) converge\(\Longrightarrow{\displaystyle\lim_{x \to{+\infty}}{f(x) = 0} }\)
(sugerian usar la sucesion \(a_{n}=\int_n^{n+1} f(x)dx\). Y demostrar que si \(\sum_{n=0}^{+\infty}{a_{n}}\) converge entonces \(\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)=0}\). Definir f para cada [n,n+1])
[creo que era así la sugerencia]
4)Sea \(f:[a,b]x[c,d]\rightarrow R\) continua. Probar que f es integrable
Saludos
EDIT
Si, tenes razon. Me lo tomaron el 12/04/2010
Gracias
Del 1), a) fue algo engorroso demostrar la continuidad antes de buscar derivadas parciales.
b) Todo parecia (parece) indicar que en t=0, \(\varphi(t)\) alcanza un mínimo para ciertos valores de v y para otros un máximo :/
Alguien que lo haya hecho bien, por favor
El 2) fue el más facil
Del 3), el b) no lo terminé por falta de tiempo
El 4) no era nada fuera de normal
En conclusión, el examen no era tan dificil si estudiaste las demos. Pensando un buen rato, algunos salian.
Mi pregunta, alguien se quedó corto de tiempo o fui el único? (está pregunta ya fue hecha por otra persona en otro thread, perdón si sonó a copia)
¿Alguien sabe si en las fechas de mayo va a seguir tomando Pablo Amster?
Se supone que toma el que está tomando ahora en mayo y en junio. Igualmente en la página del Departamento de Matemática, unas semanas antes de los finales aparece quién quiénes toman cada final 🙂
Saludos.
Muchas gracias!
Voy a darlo entonces en mayo.
Lo único que me molesta es que varios digan que el tiempo que te dan es poco (siempre soy de tardar mucho!).
Este final del 12/4, ¿fueron 3 o 4 horas?
Creo que el tiempo fue adecuado, eso si tenias que tener todo muy claro!!! y no se si Pablo Amster va a estar tomando en otras fechas, me parecio (solamente me parecio) escuchar que no!.
Fueron 3 horas, pero parece poco cuando el tiempo lo administrás mal (en mi caso) o no lo tenés claro de entrada cómo van a ser los pasos a seguir (no tenés el paqueño plano mental a-->b--->c--->d--->LO RESOLVÍ 😛)
Sino, es más que suficiente.
Generalmente, como Pablo Amster dio la materia en el verano, le corresponde tomar el final hasta el fin del cuatrimestre, eso incluye mayo y junio. Luego, cuando termina el cuatri, toman los profesores que estan dando la materia ahora.
dejo la respuesta del 1). ya la habia hecho antes pero en lenguaje comun sin el latex y lo borre. aca lo dejo bien legible.
a) lo primero que quiero aclarar es que no es necesario demostrar que la funcion es continua en el punto \((0,0)\) ya que cuando demostramos que es diferenciable la continuidad esta implicita. para demostrar que es diferenciable es necesario calcular las derivadas parciales \({f}_{x}\) y \({f}_{y}\). dejo las cuentas para el que las quiera hacer (lo unico que hay que aclarar es que como la funcion es partida es necesario calcularlas mediante el cociente incremental, dejo como seria \({f}_{x}=\) \(\lim_{t \rightarrow \0} \frac{f(t,0) - f(0,0)}{t}\)) pero ambas dan 0 es decir \({f}_{x}={f}_{y}=0\). luego como \(f(0,0)=0\) para que sea diferenciable hay que probar que \(\lim_{(x,y) \rightarrow \(0,0)} \frac{ \vert f(x,y) \vert}{\Vert(x,y)\Vert}=0\), pues \(0 = f(0,0) + {f}_{x} (x - 0) + {f}_{y} ( y - 0 )\). pero si nos fijamos bien en una bola de radio \(\delta\) y centro el \((0,0)\) encontramos puntos de la pinta \(f(x,y)= - (x^2 + y^2)\) y \(f(x,y)= x^2 + y^2\) (dejo la demostracion para el que la quiera hacer), bueno pero eso se soluciona muy facil. queremos probar que dado \(\varepsilon > 0\) \(\exists\) \(\delta > 0\) \(/\) \(\Vert (x,y)\Vert < \delta \Rightarrow \frac{ \vert f(x,y) \vert }{ \Vert (x,y) \Vert} < \varepsilon\) sin embargo \(\vert f(x,y) \vert = x^2 + y^2\) \(\forall\) \((x,y) \in\mathbb{ {R}^{2} }\), luego \(\frac{ \vert f(x,y) \vert }{ \Vert (x,y) \Vert} = \frac{ {\Vert (x,y) \Vert}^{2} }{ \Vert (x,y) \Vert} = \Vert (x,y) \Vert < \delta < \varepsilon\) si tomo \(\delta < \varepsilon\), entonces \(f(x,y)\) es diferenciable en el \((0,0)\)
b) bueno en el b hay que darse cuenta que no importa por cual recta nos acerquemos al origen, estando suficientemente cerca del \((0,0)\)estamos sobre puntos de la pinta \(f(x,y) = x^2 + y^2\) (no hago la demostracion por que hay que separar en casos y se vuelve bastante larga. sin embargo no es deficil, basta jugar un poco con las desigualdades. hay que fijarse que pasa acercandose por los ejes y por cada uno de los cuatro cuadrantes) una vez hecha esta aclaracion es muy facil ver que si \(v = ({x}_{o}, {y}_{o}) \Rightarrow f(tv) = \varphi (t) = t^2 ( {x}_{o}^2 + {y}_{o}^2 )\) (la igualdad vale si t es suficientemente chico) tiene un minimo en \(t=0\). lo cual no quiere decir que \(f(x,y)\) tenga un minimo en el origen pues si nos acercamos por \(\phi (t) = (t , \frac{3}{2} t^2 )\) luego \(f( t , \frac{3}{2} t^2 ) = - t^2 ( 1 + \frac{9}{4} t^2 )\) claramente tiene un maximo en \(\phi (0) = f(0,0)\). entonces \(f (0,0)\)es un punto silla.
cualquier duda o error por favor avisenme! espero haber ayudado 😛
dejo tambien la respuesta del 3) b)
basta considerar la funcion cuyo grafico es el de la imagen donde la altura de cada triangulo es \(1\) y la base es \(\frac {1}{k^2}\) para cada \(k \in\mathbb{N}\) donde cada \(k\) se ubica en el vertice del triangulo. en la imagen no se nota bien pero la funcion es continua toda positiva y vale cero entre los triangulos. es facil darse cuenta que el area de los triangulos se van haciendo cada vez menores a medida que se avanza, por ende \(\int_{0}^{\infty} f(x) dx = \sum_{1}^{\infty} \frac {1}{2 k^2 }\) donde \(\frac {1}{2 k^2 }\) es el area de cada uno de los triangulos. y dicha serie es convergente por ser menor que \(\sum_{1}^{\infty} \frac {1}{k^p }\) con \(p >1\) la cual es convergente. sin embargo el \(\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)\) no existe. consideremos la sucesion \({ {a}_{n} } = 1 , 2 , 3 , 4 ...\) luego \(\lim_{n \rightarrow \infty} f({a}_{n}) =1\) y si consideramos la sucesion \({ {b}_{n} } = 1/2 , 3/2 , 5/2 , 7/2 ...\) entonces \(\lim_{n \rightarrow \infty} f({b}_{n}) =0\). en conclusion la afirmacion b) no es valida.
Siiiiiiiiiiiiii!, mandale un mail a Amster que te dice cuanto te sacaste!, entregaron el lunes pasado las libretas, yo no pude ir, pero en la semana seguro voy!
Siiiiiiiiiiiiii!, mandale un mail a Amster que te dice cuanto te sacaste!, entregaron el lunes pasado las libretas, yo no pude ir, pero en la semana seguro voy!
😮 gracias!! no estaba enterado (ya mismo le pregunto)
