Acá les dejo, para los que les interese, el final de Análisis I que tomaron hoy. En mi humilde opinión, era un poco fácil, las dos demostraciones teóricas eran de las más cortas que hay (si es que no son las dos más cortas), y el problema 1 salía siendo un poco ordenado. El 4 tal vez cuesta un poco más.
Sea \(f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) una función continua tal que \(\displaystyle \lim_{||x|| \to +\infty} f(x) = +\infty\). Probar que \(f\) está acotada inferiormente, y que existe \(x \in \mathbb{R}^n\) tal que \(f(x) = \inf_{y \in \mathbb{R}^n} f(y)\).
Sea \(U \subset \mathbb{R}^n\) un abierto y sea \(f : U \rightarrow \mathbb{R}\) una función diferenciable en \(x \in U\). Probar que \(f\) es continua en \(x\).
Sea \(f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) una función continua. Probar que \(f\) es uniformemente continua en \([a,b]\).
Sea \(f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) una función de clase \(C^1\), y sea \(F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \(F(x) = \int_0^x f(x,y) dy\).
Probar que \(F\) es derivable en \(\mathbb{R}\) y que \(F'(x) = \int_0^x \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) dy + f(x,x)\) para todo \(x \in \mathbb{R}\).
La demostración de "Diferenciabilidad --> Continuidad" es una de las que más me cuesta.
Se me ocurrió así. Alguien podría corroborarlo?
Ejercicio 2)
Sea \(f\) diferenciable en \(x_{0}\), entonces por definición, dado \(\epsilon > 0\), \(\exists \delta > 0\) tal que \(||x-x_{0}|| < \delta \rightarrow \frac{|f(x) - f(x_{o}) - \nabla f(x_{0}) (x - x_{0})|}{||x-x_{0}||} < \epsilon\)
Si el módulo de la función menos el plano sobre su norma tiende a 0 cuando x tiende a un punto P, quiere decir que tanto la parte de arriba como la norma tienden a 0 (Porque la norma no puede tender a infinito). Como el módulo de la función menos el plano tiende a 0 (la norma nos deja de importar), sin el módulo también tienden a 0. Ahora vemos que cuando x tiende a P, el termino que tiene al gradiente tiende a 0, por lo tanto cuando x tiende a p, F(x)-F(P) (que es el pedazo que nos queda) tiende a 0, por algebra de límites, y como F(P) es una constante, la pasamos por el otro lado y tenemos lo que buscabamos.
Debe ser la demostración más fácil de todas.
La verdad que muy fácil este final, estoy de acuerdo con Matías.
Por las hipotesis que tenemos existe M>0 tal que \(f(x) > 0\) si \(||x||>M\). Ahora consideramos la bola cerrada centrada en 0 de radio M, llamemosla B. Esta bola es cerrada y acotada, ademas f es continua. Luego f alcanza maximo y minimo en B. Sea \(z=\min_B(f)\). Ahora es claro que min(z,0) es una cota inferior para f en todo su dominio.
La segunda parte es similar.
ATENCION: no es cierto que z es el infimo ese que aparece.
Ahora sabemos que \(y \rightarrow f(x+h,y)\) alcanza un MÁX\(=M_{h}\) y un MÍN\(=m_{h}\) en el \([x,x+h]\) y que cuando h tiende a 0, \(M_{h}\) y \(m_{h}\) tienden a \(f(x,x)\)
$$m_{h} \leq y \rightarrow f(x+h,y) \leq M_{h} \Rightarrow$$
$$\int_x^{x+h} m_{h} dy \leq \int_x^{x+h} f(x+h,y) dy \leq \int_x^{x+h} M_{h} dy$$
$$\Rightarrow m_{h} h \leq \int_x^{x+h} f(x+h,y) dy \leq M_{h} h \Rightarrow m_{h} \leq \frac{\int_x^{x+h} f(x+h,y) dy}{h} \leq M_{h}$$
Quimey dice que, la segunda parte, es igual a la primera que resolvio. Pero no es el axioma de completitud? Igualmente el axioma habla de \(\mathbb{R}\), y no de \({\mathbb{R}}^{n}\). Igual no creo que influya
Axioma. Si A \(\subset\) R es no vac´ıo, y est´a acotado superiormente, entonces A tiene supremo s.
Pero la completitud sólo te dice que el ínfimo del conjunto existe.
Yo creo que lo que tenés que probar acá es que la función alcanza ese valor, es decir, qué SÍ pertenece a la imagen de f.
El enunciado dice porbar que existe x \(\in{R}^{n}\)/\(f(x)=inf f(y)\) para un \(y\in{R}^{n}\)
Como el conjunto que armo Quimey es compacto, la imagen genera un conjunto compacto. Este conjunto esta acotado, y ahi por completitud alcanza el infimo.
es cierto que yo arme un compacto y que la funcion alcanza minimo en el. Pero como sabes que el minimo global de f en todo su dominio no esta afuera del compacto que yo arme...
Puede ser eligiendo un \(M\) apropiado? La funcion tiende a infinito, asi que me imagino que debe ser tomando un \(M\), apropiado, pero como se elige ese \(M\)?
La demostración queda así.
Por las hipotesis que tenemos existe M>0 tal que f(x) > f(0) si ||x||>M. Ahora consideramos la bola cerrada centrada en 0 de radio M, llamemosla B. Esta bola es cerrada y acotada, ademas f es continua. Luego f alcanza maximo y minimo en B. Sea z=\min_B(f). Ahora es claro que z, es una cota inferior para f en todo su dominio.
Maximiliano escribió:
Puedo pedir que la funcion fuera de [M,M] sea mayor que f(M)? NO!!! M es un numero real, y f sale de \(\mathbb{R}^ n\)
La bola de radio M esta centrada en el 0. Y pedis que f(x)>f(0) para todo x perteneciante a \(\mathbb{R}^ n\)? NO!! solo lo pido para los x que estan fuera de la bola de radio M centrada en 0
Como salva que el infimo no se encuentre pfuera de M? M es un numero, que significa esto?
Si algo no te cierra primero hace un dibujo y despues segui preguntando por aca.
Disculpa si este post es un poco brusco 😛
jajaja que tarado que soy. Lo que quise decir con f(M) ejjeje, como los X que estan en el borde de la bola B.
la aclaracion "solo lo pido para los x que estan fuera de la bola de radio M centrada en 0" es clave.
Creo entender ahora. Osea, f(x) afuera de la bola tiene que ser mayor que f(0). Pero adentro de la bola puede valer cualquier cosa. Voy a agarrar un papel.
corrijanme si me equivoco
Idea:
Con lo resuelto hasta ahora, definir un M' lo suficientemente grande como para tener la completa seguridad de que si hay un mínimo absoluto en la bola cerrada de radio M', también es mínimo absoluto de f en \(R^{n}\)
corrijanme si me equivoco
Idea:
Con lo resuelto hasta ahora, definir un M' lo suficientemente grande como para tener la completa seguridad de que si hay un mínimo absoluto en la bola cerrada de radio M', también es mínimo absoluto de f en \(R^{n}\)
Fijate que lo que hace Quimey, es precisamente lo que decis vos. Osea, yo me equivoque y pensé que podia haber muchas oscilaciones, y que pueda quedarse el infimo fuera del cjto., pero lo que me paso fue que enrealidad, pide que la imagen fuera de ese conjunto, sea mayor que un punto de la imagen. Quimey eligió f(0), pero puede ser f(P). Eso quiere decir que, la imagen fuera del conjunto, tiene que ser mayor a algun punto dentro del conjunto.
Quimey DIJO escribió:
No es precisamente el M lo que hay que elegir...SI ES EL M, CON LA NUEVA CONDICION, VARIAS EL M!!! En definitiva, buscas un M...
Aca esta la posta:
En una parte yo pedí que f(x)>0, si cambias esa condicion por algo así ya anda:
f(x)>f(0)
La acotacion en rojo, puede ser tomada como una burla, por haber dicho que no entendia nada, cuando lo que propuse, es lo que vos dijiste, sacandome el credito jajajajajajaja. Igual creo que a varias personas le movio la cabeza este ejercicio, sino, hubieran pasad y hubieran dicho algo, ayudandome a comprenderlo mejor. Pero como es una huevada, no preguntaron nada, dejandome como un bobo. Pero ya fue, voy a seguir preguntando huevadas.
Contesten!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Corrijan!!!!!!!!!!!!!!!!!
EDIT: me confundi en una cosa ahi lo veo mejor, que lo escribi rapido...
estamos mas o menos en la mismas condiciones. ahora que lo releo, no estoy seguro de haberlo entendido. pero aclararé cuanto pueda.
Voy por orden:
Por cómo definimos M,
||x|| > M ---> f(x) > 0
||x||<=M ---> f(x) >= z, porque alcanza mínimo absoluto
rta1: f está acotado inferiormente por min{z;0}
si z <= 0, el valor de x donde alcanza f toma el valor z, es el que nos piden en la segunda parte del problema
pero como puede ocurrir z > 0, no podemos asegurar nada, porque ya no sabemos si f (visto en todo R) no toma algún valor entre z y 0
Ahí me ayudó mucho tu gráfico, gracias
Ahora viene la segunda parte.
No comprendí muy bien porqué Quimey propone f(x) > f(0) a lo último. Me quedo con lo que dijo antes
En una parte yo pedí que f(x)>0, si cambias esa condicion por algo así ya anda:
f(x)>f(0)
. Lo interpreto como que lo puso a modo de ejemplo para no ser tan directo
Con respecto al tema del M
3) No variás el M. En su lugar te definís otro M'.
Mi pregunta fue: ¿cuánto más grande que M debe ser M', como para estar seguro que f restringida a M' contenga al mínimo absoluto de Rn?
Antes Quimey propuso un M que hiciera f(x) > 0.
¿Qué pasa si analizás f sobre una bola de mayor radio? No va a cambiar el hecho de que sea f(x) > 0, pero como el límite tiende a +infinito, eventualmente la condición va a ser f(x) > t, para algún t>0
Ese podría ser un primer paso: defino M' tal que si ||x||> M' >= M, f(x) > t
Quedaría ver qué podrías usar como t, como para asegurarte que
||x|| <= M' ---> existe mínimo absoluto de f en bola de radio M' y que es absoluto de Rn
(que es lo que decías con tomar un P del interior del conjunto)
