Duda sobre implicación de la continuidad de una función

Hola a todos:

Tengo una f: R2->R, continua, que se anula solamente en finitos puntos (en particular en el origen). Luego para cualquier otro punto del dominio la f tiene signo único.
No tengo claro el porqué. Alguna pista?

Gracias de antemano!

Esto fue preguntado y respondido varias veces. Fijate por ejemplo aca:
[15/12/2014] Ejercicio de análisis I

El absurdo consiste en que si la f tiene valores positivos y negativos con finitos "ceros", siempre voy a poder encontrar un "cero" mas.

Gracias por el aporte!