¿Podrían (explicar) la demostración de no numerabilidad del intervalo unidad (0, 1) de los reales, empleando el teorema de intervalos cerrados y encajados?
En principio, me gustaría entender:
¿La razón de emplear intervalos cerrados y encajados – en particular, su intersección (no vacía): elemento único –, en conjunción con la exclusión de ciertos números reales (presumo que una cantidad infinita de ellos) de cada uno de esos intervalos?
¿Y cómo, esa/s razón/es del punto anterior nos permite/n concluir que: {x} no es imagen por (f) de ningún número natural?
El conjunto de los números reales es un cuerpo totalmente ordenado. La diferencia principal que tienen con los racionales (que también es un cuerpo totalmente ordenado) es que en los racionales no tenés el Axioma del Supremo (o el Axioma de Completitud). Esto es básicamente, que todo subconjunto acotado superiormente de números reales posee un supremo.
Por ejemplo, el conjunto \((0;\sqrt 2)\) en los números reales tiene supremo: \(\sqrt 2\). En cambio, si lo miro desde los racionales, este conjunto se representa: \((0,\sqrt 2)\cap \mathbb{Q} = \{ q\in \mathbb{Q} : 0<q<\sqrt 2 \}\) el cual claramente no tiene supremo en \(\mathbb{Q}\), pues el único candidato es \(\sqrt 2\) y este no pertenece a \(\mathbb{Q}\) (la demostración de este hecho es muy simple, y creo que se da en la materia o en el CBC)
Por lo tanto, es de esperar que \(\mathbb{R}\) tenga "muchos más" elementos que \(\mathbb{Q}\). La pregunta es, ¿cuántos más?
Una de las cosas a destacar de este hecho llamado Axioma del Supremo, es que es equivalente a que el cuerpo de los números reales sea completo (por ello a veces se dice Axioma de Completitud)
Ser completo significa informalmente que "no le falta ningún punto". O sea, que si vos tenés por ejemplo una sucesión que debería tender a un determinado punto, entonces ese punto está.
Matemáticamente, ser completo quiere decir que toda sucesión de Cauchy es convergente. En los reales, esto es equivalente a que todo conjunto acotado superiormente tenga un supremo (si te interesa ver esta equivalencia te la escribo, pero no es muy difícil de demostrar, se ve en taller de cálculo avanzado, junto con otras más)
Y además, esto de ser completo, es equivalente a que toda sucesión de intervalos encajados cuyos diámetros (o longitudes) tienden a 0, tienen un único punto en su intersección (esta demo también la ven en taller)
En fin, espero haberte convencido de por qué aparece el encaje de intervalos en una demostración de cardinalidad.
Comentario aparte: esto se puede extender a otros conjuntos más generales (en teoría de espacios métricos, se ve en la materia Cálculo Avanzado), donde también aparecen estos hechos y uno demuestra que un espacio métrico es completo si y solo si cualquier sucesión decreciente de conjuntos cerrados cuyos diámetros tienden a cero tienen un único punto en su intersección (Teorema de Cantor), y que además si un espacio métrico es completo y no tiene puntos aislados entonces no puede ser numerable (corolario del Teorema de Baire)
Te dejo un boceto de la demostración. Saludos!
Supongamos por el absurdo, que el intervalo \((0,1)\) es numerable. Entonces puedo encontrar una sucesión \((r_n)_{n\geq1}\subset (0,1)\), tal que \(\forall x\in (0,1), \exists n \in \mathbb{N}\) tal que \(r_n = x\) y además, \(\forall n \neq m, r_n \neq r_m\)
La idea de la demostración está en el fondo en usar el principio de Arquimedianeidad, que te dice que los naturales no son acotados superiormente, y un corolario de esto es que los racionales son densos en los reales, o dicho de otra forma, que entre dos reales hay infinitos racionales.
Como el elemento \(a_1 \in (0,1)\), entonces existe un intervalo cerrado \(I_1\) no vacío de longitud menor a \(\frac{1}{2}\) tal que \(a_1 \notin I_1\)
Para probar la existencia de este intervalo pensar que puedo tomar los extremos de dicho intervalo como números racionales y usar el principio de Arquímedes.
El elemento \(a_2 \in (0,1)\) puede estar o no en \(I_1\). En cualquier caso, existe un intervalo cerrado \(I_2 \subset I_1\) no vacío de longitud \(<\frac{1}{4}\) tal que \(a_2 \notin I_2\)
Inductivamente, suponete que tenemos elegidos los intervalos \(I_1, I_2, ..., I_n\) que son todos cerrados, no vacíos y satisfacen que \(I_n \subset I_{n-1} \subset ... \subset I_2 \subset I_1\), \(Longitud(I_j) = |I_j| < \frac{1}{2^j}, \forall 1\leq j \leq n\) y \(a_j \notin I_j, \forall 1\leq j \leq n\)
Entonces el elemento \(a_{n+1}\) puede estar o no en el intervalo \(I_n\). En cualquier caso, puedo elegir un intervalo cerrado \(I_{n+1}\subset I_n\) no vacío de longitud menor a \(\frac{1}{2^{n+1}}\) tal que \(a_{n+1} \notin I_{n+1}\)
De esta forma te armaste una sucesión de intervalos cerrados encajados no vacíos cuyas longitudos tienden a cero. Entonces por el principio de encaje de intervalos, existe un único elemento en su intersección: \({\cap}_{n\geq 1} I_n = \{ x \} \subset (0,1)\). Pero entonces \(x=a_k\) para algún \(k\geq 1\) pues suponíamos que \((0,1)\) era numerable. Sin embargo \(x = a_k \notin I_k\) lo cual es una contradicción pues \(x \in I_n \forall n\)
La contradicción provino de suponer que el intervalo \((0,1)\) era numerable. Por lo tanto, no lo es.
Le doy las gracias por su explicación. Es – hasta el momento –, la mejor que he leído a este respecto y creído entender.
Hasta donde entiendo, mi problema se manifiesta en el o los últimos pasos de la demostración, de no numerabilidad del intervalo unidad usando los intervalos cerrados y encajados.
Me remitiré estrictamente al párrafo final (De esta forma te armaste una sucesión de…), donde se da el paso que no logro entender:
¿Que representa (exactamente) x=a(k)?, ¿a qué conjunto/s especifico/s y a qué relación especifica hace referencia?
Y, específicamente, ese “sin embargo x=a(k) !Є I(k)…”; ¿que está contradiciendo?
¿Acaso, la relación inicial: a(k) !Є I(k), no debe limitarse exclusivamente a los reales – en nuestro caso del intervalo unidad –?
Ahora que, si la demostración consistiese tan solo en demostrar que los reales son un conjunto completo (aplicando el teorema de intervalos cerrados y encajados): ¿para qué necesitamos crear un absurdo?
Lo que digo es que \(x\in (0,1)\). O sea, es un número real del intervalo \((0,1)\), porque todos los intervalos estaban contenidos en \((0,1)\) y por lo tanto su intersección también lo estará.
En primera instancia supuse que el intervalo \((0,1)\) era numerable y esto quiere decir es que puedo hacer una lista con TODOS sus elementos (o bien armar una sucesión que enumere todos sus elementos). \(x\) es un elemento de ese conjunto, y por lo tanto tiene que estar en la sucesión, es algún término, porque eso supuse cuando empecé. El absurdo proviene de suponer que yo podía numerar todos los elementos y encontré uno que en realidad no puede estar numerado (no puede estar en la sucesión). Por eso cuando digo \(x=a_k\) para algún \(k\geq 1\) estoy diciendo que a \(x\) lo tuve que haber incluido en la sucesión en algún momento.
Por como armé los intervalos, te está diciendo que el elemento \(k\) de la lista no puede estar en el intervalo \(I_k\), y la contradicción está en que justamente \(x \in I_k\) pues \(x \in {\cap}_{n\geq 1} I_n \leftrightarrow x \in I_n \forall n \geq 1\), y en particular si \(n=k\), \(x \in I_n = I_k\)
Por último, la demostración no está probando que los reales son completos. Lo que está probando es que el intervalo \((0,1)\) es no numerable, y para ello utilizás el principio de encajes de intervalo que funciona porque el conjunto de los reales es completo. O sea, estamos asumiendo que ya sabemos que es completo (o equivalentemente, asumimos que vale el axioma del supremo)