Tengo una pregunta sobre el ejercicio b de la imagen.
La respuesta que dieron en el foro fue la siguiente:
ivoo escribió:
supongamos que vale la siguiente proposición que no voy a demostrar: sea \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\), \(f \in c^1 (\mathbb{R}^n)\), \(f({x}_{1}, ... , {x}_{i}, ... , {x}_{n})\). Entonces si \(i \neq j \Rightarrow \frac{\partial}{\partial {x}_{j}} \int_{0}^{{x}_{i}} f({x}_{1}, ... , t , ... , {x}_{n}) dt\)\(= \int_{0}^{{x}_{i}} \frac{\partial}{\partial {x}_{j}} f({x}_{1}, ... , t , ... , {x}_{n}) dt\)
Ahora usemos la proposición para este ejercicio \(\bigtriangledown F(x,y) = (\frac{\partial F}{\partial x} (x,y) , \frac{\partial F}{\partial y} (x,y) )\)
\(\frac{\partial F}{\partial x} (x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \int_{0}^{x} \int_{0}^{y} e^{(u-1)(v^2-v)} dvdu\) y ahora usando fubbini y la proposición anterior \(= \int_{0}^{y} ( \frac{\partial}{\partial x} \int_{0}^{x} e^{ (u-1) (v^2-v) } du ) dv\) y ahora usamos el teorema fundamental del cálculo \(= \int_{0}^{y} e^{ (x-1) (v^2-v)} dv\)
y aca ya esta casi cocinado, lo único que falta es evaluar en el \((1;1)\) y resolver la integral.
para la derivada parcial respecto de y es lo mismo. cualquier crítica o error que encuentren es bien recibida! saludos!
Lo único que no entiendo de la explicación anterior es cómo demostrar es la proposición...El problema es que si bien conozco la fórmula de Leibniz para la diferenciación bajo el signo integral para integrales en una dimensión http://en.wikipedia.org/wiki/Differenti ... egral_sign, no comprendo la generalización que aparece en ese mismo artículo de la Wikipedia para integrales dobles o triples (que exige ciertos conocimientos de análisis vectorial).
De todas formas con una demostración de la proposición es más que suficiente.
Desde ya gracias!