El otro día en la práctica, un profesor dejó la fórmula de la regla de la cadena para este caso particular:
Tenemos las siguientes funciones:
\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R}\),
\(u\left( x,y\right) :\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R}\),
f es diferenciable en h(x,y)= (u(x,y),v(x,y)), y h diferenciable en (x,y)
Entonces, la regla de la cadena para este caso puede escribirse como:
\(\dfrac {\partial g} {\partial x}\left( x,y\right) =\dfrac {\partial f} {\partial u}\left( u\left( x,y\right) ,v\left( x,y\right) \right)\) \(\cdot \dfrac {\partial u} {\partial x}\left( x,y\right) +\) \(\dfrac {\partial f} {\partial v}\left( u\left( x,y\right) ,v\left( x,y\right) \right) .\dfrac {\partial v} {\partial x}\left( x,y\right)\)
La expresión para la derivada parcial de g con respecto a g es análoga (no la pongo porque no es relevante para mi pregunta)
A continuación de esta fórmula el profe hizo un ejemplo, el cual es el siguiente:
\(g\left( x,y\right) =f\left( x^{2}y,xy^{2}\right)\) y para este ejercicio el profesor escribió:
Mi pregunta es: ¿por qué en lugar de \(\dfrac {\partial f} {\partial u}\left( x^{2}y,xy^{2}\right) \right)\), escribió \(\dfrac {\partial f} {\partial x}\left( x^{2}y,xy^{2}\right)\), es decir la derivada parcial de \(f\) con respecto a \(x\) directamente, y no con respecto a \(u\)? ¿Por qué puede hacerse eso? ¿Puede hacerse siempre? Entiendo perfectamente que haya reemplazado \(u(x,y)\) por \(x^2*y\), y v(x,y) por x*y^2, pero no por qué reemplaza u por x... Alguien podría iluminarme??
Desde ya gracias.