Tema
Buenas!
¿Puede alguien darme una mano con esta demo?
\(f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}\), f continua y estrictamente monótona (inyectiva). Luego, \(Im(f)\) es un intervalo abierto.
¿Debería probar que \(\forall y \in Im(f) \;\exists r > 0 \;/ \; (y-r, y+r) \subset Im(f)\)?
pensé bastante en este ejercicio y al final salio esto, espero que te convenza 😄
dados \({x}_{1}, {x}_{2}\) tal que \({x}_{1} < {x}_{2}\) y ademas \(a < {x}_{1} < {x}_{2} < b\) es decir \({x}_{1}, {x}_{2} \in (a,b)\). supongamos f creciente estricta, entonces dado \(x\) tal que \({x}_{1} < x < {x}_{2} \Rightarrow f({x}_{1}) < f(x) < ({x}_{2})\) pues \(f({x}_{1}) < f({x}_{2})\) \(\forall\) \({x}_{1} < {x}_{2}\) (definicion f monotona creciente estricta) luego si \(x \in ({x}_{1}, {x}_{2})\) implica que \(f(x) \in ({y}_{1}, {y}_{2})\) (donde \(f({x}_{1}) = {y}_{1}\) y \(f({x}_{2}) = {y}_{2}\) ) es decir, el intervalo \(({y}_{1}, {y}_{2}) \subset Im (f)\) pues \(({x}_{1}, {x}_{2}) \subset Dom (f)\). luego llamamos \({y}_{o}\) al punto intermedio entre \({y}_{1}\) e \({y}_{2}\) (dicho valor existe y pertenece a la imagen de f por el teorema de bolzano del cual se desprende un corolario el cual enuncia que si f es continua entonces f toma todos los valores entre \(f({x}_{1})\) y \(f({x}_{2})\)) y a igual distancia de ambos (dicha distancia la llamamos \(\delta\)) \(\Rightarrow ({y}_{1}, {y}_{2}) = ({y}_{o} - \delta , {y}_{o} + \delta )\) y como \({y}_{o} \in Im (f) \Rightarrow\) \(\exists\) \({x}_{o}\) tal que \(f({x}_{o})= {y}_{o}\), ademas como \({y}_{1} < {y}_{o} < {y}_{2} \Rightarrow {x}_{1} < {x}_{o} < {x}_{2}\) pues f es monotona creciente estricta. para decodificar un poco la sopa de letras que se armo, probamos que \(\exists\) \(\delta > 0 / ({y}_{o} - \delta , {y}_{o} + \delta) \subset Im (f)\) \(\forall\) \({x}_{o} \in (a,b)\) donde \(f({x}_{o}) = {y}_{o}\) pues \({x}_{1}\) y \({x}_{2}\) eran arbitrarios entonces vale para todo \(x\).
se me ocurrio tambien una forma de probarlo por el absurdo pero mejor primero la pulo un poco y mas adelante la escribo bien.
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