Demostracion del teorema del punto fijo

Buenas
Alguien me podria decir si esta demo del Teorema del punto fijo es correcta?

Teorema: Sea \(f: [a,b] \rightarrow [a,b]\) continua en el intervalo. Entonces \(\exists c \in [a,b]/ f(c) = c\)

Probar esto es lo mismo que probar que la funcinon \(g(x) = f(x) - x\) tiene un cero.
Si\(a = b\), entonces es trivial.
Si \(a < b\), entonces \(g(a) = f(a) - a\) , siendo\((a - a)\) y \((b - a)\) el minimo y maximo valor, respectivamente, que puede tomar \(g(a)\). Como \(a < b\), \(g(a) \geq 0\)
Por otro lado, \(g(b) = f(b) - b\) puede tomar, como minimo, \((a - b)\), y como maximo, \((b - b)\). Por lo tanto, \(g(b) \leq 0\)
Si \(g(a) = 0\) o \(g(b) = 0\), es trivial que existe un cero de la funcion g, y por lo tanto, que existe un c tal que \(f(c) = c\)
Sino, \(g(a).g(b) < 0\), por el teorema de Bolzano, existe un cero de la funcion g en el interbalo \([a, b]\). Luexo, existe un c en el intervalo tal que \(f(c) = c\)

¿Que les parece? ¿Es correcta?
Gracias desde ya!!!

Sí, yo te la creo. O sea, la idea clave de la demostración es que definiendo esa función \(g\), se cumple \(g(a) \geq 0\) y \(g(b) \le 0\), luego si ambas desigualdades son estrictas tenemos un cero en el interior por Bolzano, y si no es porque se da alguna de las igualdades y también tenemos lo que queríamos.