Sea R el rombo de vertices (1,0) (2,1) (1,2) y (0,1) hacer un cambio de variables adecuado para calcular
$$\int_{R}{e}^{x+y} \sin(x-y-2)dxdy$$
Haciendo el grafico de R se nota que
$$-1+x<y<1+x \Leftrightarrow -1<x-y<1$$
$$1-x<y<3-x \Leftrightarrow 1<y+x<3$$
Llamo u=y+5 v=x-y ese es mi cambio de variable
donde \(1<u<3 y -1<v<1\)
$$u+v=2x \Rightarrow x=\frac{v+u}{2}$$
$$u-v=2y \Rightarrow y=\Rightarrow {-v+u}{2}$$
$$Sea (x,y)=(\frac{v+u}{2} ,\frac {-v+u}{2})=\gamma(u,v)$$
\(sea H\gamma(u,v)=\)$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{-1}{2}\end{matrix}\right)$$
$$determinante=\frac{-1}{2}.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}={-1}{2}$$
*entonces modulo del determinante es 1/2
Panteo ahora la nueva integral*
\(\int_{1}^{3}\) \(\int_{-1}^{1} \frac{1}{2}{e}^{u}sen(v-2)dvdu\)=
$$\int_{1}^{3}\frac{1}{2}{e}^{u}(-cos(-1)+cos(-3))du$$
$$=\frac{1}{2}(-cos(-1)+cos(-3))({e}^{3}-{e}^{1})$$