acotando el denominador

\(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{3y^2+7x^2}=0\) (no me acuerdo si lo de arriba era asi, pero no importa.)

entonces:

esto es valido SIEMPRE? o deberia tomar una cota arbitraria para y?
el otro dia lo discutimos en la biblioteca y me enrede mucho.

esto se cumple para todo "y", o solo para los y'es menores a 1?

Ojo cuando acotas adentro del modulo, eso en general trae problemas, aca esta bien porque lo de adentro es positivo.
Creo que la desigualdad que pusiste vale siempre.

gracie quimey!
grande quimey!

Mirá, no pusiste a donde tiene ese límite de ahi, pero fijate que podés tomar que
(x^2)/(7x^2+3y^2) es menor que 1 y te quedaría que Y < e .

Por si no se entiende bien, 7x^2 es mayor siempre que x^2, y aparte le estás sumando 3y^2 que es algo positivo porque esta elevado al cuadraro. Osea que si ambos son positivos y el denominador es más grande que el numerador podés acotar por 1.

NahuelMS escribió:

\(1^{ero}\) Traduzco a \(Latex:\)

\(\frac{x^{2}}{7x^{2}+3y^{2}}<1\)\(\Rightarrow y<\epsilon\)

Por si no se entiende bien, \(7x^{2} > x^2\) y le estas sumando \(3y^{2}>0\)

Osea que si ambos son positivos y el denominador es más grande que el numerador podés acotar por 1.

Ahora, no estoy muy seguro de lo que decís. Hay una forma, digamos, más justificada de llegar a lo mismo:

tenés:

Lo que sí podés decir es que, como \(3y^2>0\) \(\Rightarrow\)\(\frac{x^2y}{3y^2+7x^2}\)\(\leq \frac{x^2y}{7x^2}\) Ahora podés simplificar los \(x^2\) Acotás a \(y\) por \(||(x,y)||\) y te queda que \(\frac{||(x,y)||}{7}<\epsilon\) Siempre que \(||(x,y)||<\delta=\frac{\epsilon}{7}\)

EDIT:

Ya comprendí lo que decías 😛

Me olvidé que el cociente era \(\frac{x^2y}{3y^2+7x^2}=0\)

Claro, lo que vos decís es que tenés que \(\frac{x^{2}}{7x^{2}+3y^{2}}\) simplemente es acotado. Lo que si, si aseguras que ese otro cociente es menor a 1, no podes acotarlo precisamente por 1, me parece, pero ponele que le podes poner 1/2.

Saludos...

Claro, eso está piola.
Igual ni sé si era así el ejercicio, la idea era saber si SIEMPRE es válido directamente sacar el numero que acompania a una variable cuando esta está en el denominador y tanto variable como coef son > 0.

Si es verdad. Y ahora que lo releeo creo que saqué tu intención 🤓 Querías poner norma al cuadrado abajo y acotar por norma al cubo arriba? pillin... 😈

lo que suelo usar tambien (y q llegas al mismo resultado) es lo siguiente: x al cuadrado es positivo, entonces sumar 3 por x al cuadrado es menor que sumar 7 por x al cudrado. entonces sacas factor comun 7 y te queda una hermosa norma al cuadrado, que simplificas con lo de arriba...