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Tema

Acotando abs(y) en el denominador

5 respuestas 9087 visitas
#1 viko

vamos con este limite:

$$\lim_{(x,y) \to (2,1)}\frac{xy(x-2)^\frac{5}{3}(y^2-1)^\frac{2}{3}}{|y|(x-2)^2+x^2(y-1)^2}=0$$
$$\frac{|xy(x-2)^\frac{5}{3}(y^2-1)^\frac{2}{3}|}{||y|(x-2)^2+x^2(y-1)^2|} < \epsilon$$

busco transformar lo de abajo en la norma,

entonces yo pense:

$$||(x,y)-(2,3)|| < \frac{1}{2}$$
$$\Rightarrow |x-2|< \frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{3}{2} < x < \frac{5}{2}$$
$$\Rightarrow |y-1|< \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} < y < \frac{3}{2}$$

\(\Rightarrow,\) ahora puedo acotar \(|y|\) y \(x^2\) pero usando las cotas inferiores.

como se que x es SIEMPRE mayor que 3/2 e y es SIEMPRE mayor que 1/2

entonces tomo x=1/4 y y=1/16

$$\Rightarow$$
$$\frac{|xy(x-2)^\frac{5}{3}(y^2-1)^\frac{2}{3}|}{||y|(x-2)^2+x^2(y-1)^2|} < \frac{|xy(x-2)^\frac{5}{3}(y^2-1)^\frac{2}{3}|}{||\frac{1}{16}|(x-2)^2+(\frac{1}{4})^2(y-1)^2|}$$

entonces saco \(\frac{1}{16}\) factor comun, y magicamente

$$\frac{|xy(x-2)^\frac{5}{3}(y^2-1)^\frac{2}{3}|}{||y|(x-2)^2+x^2(y-1)^2|} < \frac{|xy(x-2)^\frac{5}{3}(y^2-1)^\frac{2}{3}|}{|\frac{1}{16}[(x-2)^2+(y-1)^2]|}$$

y ahora igualo a la norma y....

y al final me queda \(\delta=min \{ \frac{1}{2} ,\) el epsion que saque de todo esto\(\}\)

esa acotacion es correcta?
nunca la vi en clase, y tengo miedo de que sea trucha

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hola

#2 KillSchrodingerCat

Parece ser correcto:

algunos errores sin importancia:

\(||(x,y)-(2,1)||\) y no \(||(x,y)-(2,3)||\)

\(|x-2|<\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow \frac{3}{2}<x<\frac {5}{2}\) Ojo con los signos !

Con respecto a lo de acotar, sino te había quedado claro aún, creo que con el apunte que dejaste el otro día ya debería cerrar todo 😛

Fijate que podes hacer \(n\) demostraciones distintas para un limite !

Lo que no estoy seguro de si vale siempre, es tomar el delta igual al \(min\) \(\{x,\epsilon\}\) Yo, en gral. tomo a \(\delta\) como menor a ese \(min\)

Veo que estas a full con los límites !

Bien ahi ! Che, tenemos que estudiar a full !

Saludos...

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"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
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#3 viko

jaja
gracias che
no dejo de cometer errores pelotudos todo el tiempo.

#4 KillSchrodingerCat

viko escribió:

jaja
gracias che
no dejo de cometer errores pelotudos todo el tiempo.

Los errores pelotudos te matan a veces en los parciales ! 😄 Hay que mandarle mecha aún más ! Ya con ver 2 temas hoy mi cabeza quedó en off 😳 mañana estudiemos a full !

#5 pepenofo

Hola, tengo una duda sobre el último paso ¿por qué igualás a la norma en la última fracción? Quiero decir, ¿cuál es la razón por la que esa última expresión que tiene un producto, divido por la norma, es tan directamente menor que la norma en sí? Gracias.

#6 pepenofo

Ya comprendí, por cada miembro que está multiplicando tengo que es menor que la norma a su respectiva potencia y cada una multiplicando, y abajo la norma al cuadrado.