Tema
Bueno, me acerco a diferenciabilidad, pero estoy estancado en una demostracion que es importante me parece a mi del tema de continuidad.
La que dice que Sea f:A ⊆ Rn a R es acotado y cerrado, f es continua en A.
En realidad me parece que copie algo mal, supongo que ya alguien alguna vez pregunto sobre esto, asi que de ultima le pregunto a algun moderador si me puede copiar la dem.
Muchas gracias.
Estudiante de meteorologia
Te referís \(f:K\subseteq \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) con \(K\) compacto, ¿entonces \(f\) alcanza máximos y mínimos absolutos?
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
No, es esta pero perdoname que la escribi incompleta. Quizas es la misma que decis vos eh, el enunciado es este...
Sea \(f:A \subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\), con \(A\) acotado y cerrado, \(f\) es continua en \(A\). Entonces:
1)Existen \(n,M\in \mathbb{R}\) tales que \(n \leq f(x) \leq M\) para todo \(x\) en \(A\)
2)Existe \({X}_{n}\in A\) tal que \(f({X}_{n})=\min \{f(x):x \in A\}\)
3)Existe \({Y}_{n}\in A\) tal que \(f({Y}_{n})=\max \{f(x):x \in A\}\)
Ese es el encunciado del teorema.
Mira... ya que estamos te digo lo que no entiendo de la demostracion. (perdon que todavia no se explibir en tex ya voy a aprender jejeje)
Dem: veamos que Existe n perteneciente a R tal que f(x) ≤ n para todo x perteneciente A.
[]Si no existiera, existe una sucesion Xk perteneciente A tal que f(Xk) ≥ k[]
Eso que esta entre asteriscos no entiendo, no le veo sentido, ademas no aparece nada de eso en el enunciado.
Para que tengas una idea este teorema viene despues del de conexo, en la parte de continuidad es decir al comienzo de materia.
Saludos!!
Editado 1 vez.
jajaja, es el mismo teorema que digo. Igual, procedo a tratar de explicar tu duda.
pd: en \(\mathbb{R}^{n}\), un conjunto \(A\) cerrado y acotado es equivalente a que sea compacto. O sea, podés pensar a \(A\) como compacto. Esto lo digo por el siguiente resultado importante:
\(K\) es compacto entonces dada una sucesión \({x}_{n}\) en \(K\), existe una subsucesión convergente a un punto de \(K\).
Querés probar que existe \(M\) tal que \(f(x)\leq M,\forall x\in K\). La parte entre [*] es consecuencia de la negación de esta afirmación; ponele que no está acotada \(f\). Entonces,
-en particular \(1\) no es cota superior de \(f\), esto es, existe algún \({x}_{1}\) de \(K\) tal que \(f({x}_{1})>1\).
-en particular \(2\) no es cota superior de \(f\), esto es, existe algún \({x}_{2}\) de \(K\) tal que \(f({x}_{2})>2\)
.
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.
-en particular \(k\in \mathbb{N}\) no es cota superior de \(f\), esto es, existe algún \({x}_{k}\) de \(K\) tal que \(f({x}_{k})>k\)
Acá te armaste una sucesión \({x}_{k}\) de \(K\) tal que \(f({x}_{k})>k\) como querías
Fijate si esto te aclara la duda.
PD 1: cuando digo \(k\) no es cota superior de \(f\), estoy abusando de lenguaje. Quiero decir que la imagen de la función \(f\), que es un subconjunto de \(\mathbb{R}\) verifica que no tiene por cota superior a \(k\)
PD 2: ahi arreglo lo del tex.
Hola, bueno mira, tengo dudas todavia. Parece que sigo sin entender donde esta el absurdo ademas.
Te digo lo que creo que entiendo y despues me corregis.
Yo tengo un conjunto compacto A con una funcion f que es continua en ese compacto, y lo que quiero ver es q f(x) esta acotada y alcanza un maximo y un minimo al evaluar la sucecion Xk en f.
Lo que no entiendo es K es un compacto y A tambien?
Quizas el absurdo este en que si yo quiero ver que F(x) esta acotada superiromente por ejemplo y si digo que F(Xk) ≥ K no puede ser por que K es compacto, entonces si F(Xk) es mas grande que ese compacto no estaria acotada y seria absurdo. Es este el tema? por eso se plantea esto? Me es dificil imaginarmelo todo esto... perdon por la cantidad de preguntas
La demostracion en este caso plantea el absurdo en que F(Xkj)≥Kj lo que quedaria en que un numero es mayor que un infinito.
Pero Kj es un compacto... entonces un compacto es infinito? quizas podria pensar que tiene un numero infinito de elementos que pertencen a ese conjunto, y es justamente la subsucesion convergente lo que me genera ese absurdo, si esa subsucesion es convergente a un numero no puede ser mayor que un infinito (asumiento que un compacto lo es).
Bueno, espero que comprendas por que no entiendo todo esto.
Muchas gracias nuevamente.
Creo que la dificultad reside en la definición de compacto. Yo usé la letra \(K\) para enunciar el resultado pero en el teorema, \(A\) es el compacto \(K\). A nivel análisis I, podés definir \(A\subseteq \mathbb{R}^{n}\) compacto como un conjunto que es cerrado y acotado(o sea, la compacidad es una propiedad de los conjuntos. Digo esto porque hay una parte de lo que decís que no entendí a qué te referías). Lo que vos querés probar es(primero) la afirmación:
"\(f\) es una función acotada". Esto quiere decir que el conjunto \(Im(f)\eq=\{y\in R:y\eq=f(x),x\in A\}\) es un conjunto acotado. Entonces, uno prueba primero que está acotado superiormente porque ve que el caso de acotado inferiormente es análogo. Que \(Im(f)\) esté acotado superiormente quiere decir que existe un \(M\in \mathbb{R}\) tal que \(y\leq M,\forall y\in Im(f)\). Probar por el absurdo es suponer que esto no pasa. Como veo que después preguntás por el "absurdo", asumo que la parte de la existencia de la sucesión \({x}_{n}\) del compacto \(A\) tal que \(f({x}_{n})\geq n \forall n\) te quedó más o menos clara. Para llegar al absurdo que uno quiere, se usa el teorema que toda sucesión de un compacto(en este caso \(A\)) admite una subsucesión convergente. En esta situación, lo que dice el teorema es que \({x}_{n}\)(al ser una sucesión de puntos del compacto) admite una subsucesión \({x}_{{n}_{k}}\) tal que \({x}_{{n}_{k}}\rightarrow x\in A\). Luego, en particular debe también verificar:
Fijate si esto aclara un poco.
PD: en el link [No Resuelto ] 30/12/08 - FINAL se discutió esta demostración. Fijate si sirve.