Tema
Tengo algunos ejercicios de la practica 2 que no me salen, y quería saber si me podían ayudar aunq sea con alguno de estos:
(las consignas son todas iguales: probar q para todo n vale...)
6)iii.
7)iv.
10)i.
Bue, eso es todo. gracias
Hago el 6iii)
Observá que \(\frac{1}{4{i}^{2}-1}\eq=\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}\eq=(\frac{1}{2i+1}-\frac{1}{2i-1})\frac{-1}{2}\eq=(\frac{1}{2(i+1)-1}-\frac{1}{2i-1})\frac{-1}{2}\). Recordando la suma telescópica \(\sum_{i\eq=1}^{n}{a}_{i+1}-{a}_{i}\eq={a}_{n+1}-{a}_{1}\)(sino, probá esto último por inducción)
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
exequiel muchas gracias por responder. lo que no me quedo muy claro es porq cuando sacas para afuera al 1/2 lo haces de la forma: \(- \frac{-1}{2}\)
No entendés el \(-\frac{1}{2}\) de la suma telescópica? Lo que hice es:
\(\frac{1}{2i+1}-\frac{1}{2i-1}\eq=\frac{2i-1-2i-1}{4{i}^{2}-1}\eq=\frac{-2}{4{i}^{2}-1}\).
Entonces, \(\frac{1}{4{i}^{2}-1}\eq=-\frac{1}{2}(\frac{1}{2i+1}-\frac{1}{2i-1})\).
Espero haber respuesto tu duda. Saludos.
10)i
igual puede salir "sin induccion" porque \(2>3/2\) y \(n(n-1).(n-2)......5.4.3> 3^{n-2}\)porque cada uno de esos numeros son mayores que 3 y luego multiplicas las dos desigualdades y listo.
Nose porque no me toma el tex el mayor o igual, asique puse todo mayor estricto pero es lo mismo.
Saludos
7)iv. para la inducción usé esto:
\(\sum_{i=1}^{n+1}{\frac{n+1+i}{i+1}}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{n+i}{i+1}}+\frac{n+n+1}{n+1+1}\)
Después usé:\(\sum_{i=1}^{n}{\frac{n+i}{i+1}}\leq 1+n(n-1)\) (hipótesis inductiva)
y queda: \(\sum_{i=1}^{n+1}{\frac{n+1+i}{i+1}}\leq 1+n(n-1)+\frac{2n+1}{n+2}\)
como quiero ver que es \(\sum_{i=1}^{n+1}{\frac{n+1+i}{i+1}}\leq 1+(n+1)n\)
pruebo que: \(1+n(n-1)+\frac{2n+1}{n+2}\leq 1+(n+1)n\)
que eso es más fácil, lo unís como fracción y después se te cancelan los n al cubo...
The End Of This Chapter...
Jejeje...
Challengeo tu control de calidad:
La primer igualdad de la resolucion de 7)iv) de Mr Satan está mal. En dicha igualdad hay un +1 que desaparece.
Quimey
Muy cierto, la emoción, supongo.
Yo tampoco me di cuenta 🙁, me lo soplaron.
7)iv
Lo que yo haría para resolverlo es ver primero los términos de las sumatorias en n y n+1:
\(\sum_{i=1}^{n}{\frac{n+i}{i+1}}=\frac{n+1}{2}+\frac{n+2}{3}+...+\frac{2n}{n+1}\)
De acá uno podría decir que cada térmnio de la dumatoria en n+1 tiene un \(\frac{1}{i}\) más que cada término de la sumatoria en n
Es decir que podría reescribir la dumatoria en n+1 como:
Ahora por hipótesis inductiva
De acá puedo decir que \(\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{i}}\leq 1\) o \(\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{i}}\leq n\) Pero no me decido por cual de las dos acotaciones usar
Siguiéndolo termino en un largo choclo polinómico que se puede terminar de demostrar pero no se si es el mejor método
"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
Pongo la resolución completa, si bien te falta un solo paso:
(1)\(\sum_{i\eq=1}^{n}\frac{n+i}{i+1}\leq 1+n(n-1)\)
El caso \(n\eq=1\) se prueba a mano. Luego, supongamos válido (1) para \(n\):
exequiel131719 escribió:
\(\sum_{i\eq=1}^{n}\frac{1}{i}\leq 1\iff n\eq=1\)
Pero yo podría escribir:
\(\sum_{i\eq=1}^{n}\frac{1}{i}\leq \sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{n}}=\frac{n}{n}=1\) pues \(i \leq n \quad \forall{n}\)
Y ahora comprendo exequiel que esto no debería tener sentido, pues el primer término de la sumatoria es 1, osea que esa sumatoria nunca puede ser menor que 1, pero no entiendo en qué me estoy equivocando con mi acotación
Es que \(\i\leq n \iff \frac{1}{i}\geq \frac{1}{n}\). Entonces si sumás término a término \(\sum_{i\eq=1}^{n}\frac{1}{i}\geq \sum_{i\eq=1}^{n}\frac{1}{n}=n\frac{1}{n}\eq=1\)
¡Estás acotando al revés!
Espero que se entienda.
jajaja, ya lo vi, que lerda que estuve o.o
Gracias che 😛
no me di cuenta que hice desaparecer un uno....después cuando lo quise hacer de nuevo me trabé bastante
Gracias por la resolución!
De nada ^^
me encanta resolver por inducción en n, fue un placer 🙂
Disculpen, pero en lugar de:
¿No deberia ser?:
Si, tenés razón(si no estoy viendo mal). De cualquier forma, no altera la cota(por suerte). Cuando comprenda cierto problema de tex en mi post, lo edito. Gracias.
Otra pregunta: ¿no es necesario justificar la forma en la que reescribimos la sumatoria hasta n+1? Quiero decir, se puede ver escribiendo los terminos de la sumatoria(usando puntos supensivos ...) que la diferencia de las sumatorias es 1/(i +1) y el ultimo termino, pero ¿puedo afirmarlo sin mas o tengo que justificarlo de alguna manera?
Cuando decís que
exequiel131719 escribió:
\(2\frac{n+1}{n+2}\eq=2\frac{n+2-3}{n+2}\eq=2(1-\frac{3}{n+2})<2\leq n\)
no debería decir:
\(2\frac{n+1}{n+2}\eq=2\frac{n+2-1}{n+2}\eq=2(1-\frac{1}{n+2})<2\leq n\) ? Porque \(2-3=1\) no da :p y esto vale que \(\forall n \in \mathbb{N}\) va a ser \(\frac{1}{n+2} < 1\)
BTW, encontré donde te tira error el latex:
En \frac{2n+2}{n+2}\eq=\sum_{i\eq=1}^{n}\frac{n+i}{i+1} tiene que decir \frac{2n+2}{n+2} = \sum_{i\eq=1}^{n}\frac{n+i}{i+1}
No sé bien por que te chilla :/ A veces es medio random el intérprete supongo
Me dicen loco, pero somos los locos los que hacemos algo del mundo
Hace mucho tiempo que está este post, con lo que ni me acordaba. Pero como decís, debería decir 2-1 y no 2-3. Uhh, qué vuele terrible. Con lo del tex, sí, después de que \eq= me tiró muchas veces error lo dejé de usar.
En fin, gracias por la observación.