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[No Resuelto] Práctica 1- Ej. 24 iii) (2005)

4 respuestas 6515 visitas 2009-04-19

#1 Mr. Satán 2009-04-19 19:49

Determinar\ si\ f\ es\ inyectiva\ ,\ sobre\ o\ biyectiva\ .\ Para\ las\ biyectivas\ hallar\ inversa.

f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}

$$f(x,y)=x+y$$

Escribí la inyectividad: \(f(a,b)=a+b=f(c,d)=c+d\ \Longrightarrow (a,b)=(c,d)\)

si \(\ (a,b)\neq (c,d) \Longrightarrow a+b\neq c+d\) Pero no se me ocurre qué hacer

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#2 Quimey 2009-04-19 20:35

Te aconsejo que pienses ejemplos, no se, calculá f(0,1),f(4,1),f(3,7),..
Una buena opcion es hacer un dibujo (del grafico).
Despues convencete del resultado, o sea, que pensas, que es o que no es inyectiva (podes fijarte como se comporta en los ejemplos). Una vez que te convenciste de cual tiene que ser la respuesta, recien ahí, intenta probarlo.

Si no te sale, preguntá y te digo la respuesta.

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Quimey

#3 Mr. Satán 2009-04-20 01:39

Un contraejemplo para la inyectividad es : \((a,b)=(1,1)\ \ \ (c,d)=(3,-1)\)

f(1,1)=f(3,-1)\ \ \ pero\ \ (1,1)\neq(3,-1)

como no es inyectiva, tampoco es biyectiva

Para la sobreyectividad pensé en separar por casos los valores de la imágen:

\forall\ c \in \mathbb{R}\ \exists\ (a,b)\in \mathbb{R}^2 / \ f(a,b)=a+b =c

Si\ a+b<0\ \Longrightarrow\ c<0\ y\ c\in \mathbb{R}

Si\ a+b>0\ \Longrightarrow\ c>0\ y\ c\in \mathbb{R}

Si\ a+b=0\ \Longrightarrow\ c=0\ y\ c\in \mathbb{R}

#4 Quimey 2009-04-20 03:02

Para la sobreyectividad:
f(c,0)=c
O sea dado c tomas a=c, b=0

#5 exequiel131719 2009-04-20 06:42

Este post es rebundante, porque después de la idea de Quimey, no hay mucho que hacer. Pero bueno; fijate que \(f\) satisface:

f(X+Y)\eq=({x}_{1}+{y}_{1})+({x}_{2}+{y}_{2})\eq=({x}_{1}+{x}_{2})+({y}_{1}+{y}_{2})\eq=f(X)+f(Y)

f(kX)\eq=kx+ky\eq=k(x+y)\eq=kf(X)

Luego, \(f\) es una transformación lineal entre \(\mathbb{R}^{2}\) y \(\mathbb{R}\). Luego, de ser epimorfismo(suryectiva), debe mandar una base a un sistema de generadores. Como \(f({e}_{1})\eq=1\), y la dimensión de \(\mathbb{R}\)(como \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial) es \(1\), se tiene \(Im(f)\eq=\left \langle 1 \right \rangle \eq=\mathbb{R}\). O sea, \(f\) es epimorfismo(suryectiva). Lo que hice es exagerado para lo que se pide probar. Pero quería mostrar la idea del "dibujo" a la que hizo referencia Quimey. En fin, perdón por el post molesto. Saludos.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities