Acá propongo una resolución que utiliza básicamente las sugerencias del problema, con lo que poco hice yo en cuanto a proceso creativo. Espero que les sirva.
El enunciado del problema era equivalente a probar la existencia de infinitos primos de la forma \(4k+3\). Este no es más que un caso particular de una situación mucho más general, resuelta por el gran Gustav L. Dirichlet en 1839 en un teormea de enunciado sorprendentemente sencillo, conocido como el ''Teorema de los Primos en Progresión Aritmética'' que dice que si a y b son enteros coprimos, en la progresión aritmética \(a+nb,\;n\eq=0,1,2...\)existen infinitos primos. Sin embargo, por lo que vi, demostrar este enunciado requiere técnicas muy complicadas en variable compleja, creo(¿qué hacen los complejos en un problema de enteros?), con lo que hay que respetar al teorema.
Espero que les haya servido y les haya sido suficientemente clara la resolución del ejercicio, y les haya gustado el comentario aparte. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
muy buen dato y lindo teorema, aunque no lo entendi del todo. Quiere decir que existen infinitos primos de esa forma para todo a y b coprimos? Yo lo que entendia bajo ese nombre es que hay ciertas sucesiones de primos de esa forma, pero todas son acotadas. busque en el san google pero no encontre nada concreto. Por favor si tenes ganas postea la URL de la info.
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Hay 10 tipos de personas en el mundo. Los que entienden binario, y los que no...
Buena resolucion.. y en cuanto a lo de Dirichlet, seguro que ya conocias, que la resolucion del Ultimo Teorema de Fermat, tambien es realmente compleja y complicada siendo el enunciado con aspecto tan "amigable"
Buen, ya que estoy, y que soy extremadamente malvado, voy a refutar el Teorema de Fermat:
¿Basta con un contraejemplo no? ¿Dos contraejemplos?
(por ahi en este segundo no se lee bien, las potencias son = 12)
Recuerdo por si acaso, el Teorema de Fermat dice que:
$$a^{n} + b^{n} = c^{n}$$
Si n > 2, entonces no existen a,b,c enteros que cumplan la igualdad.
Agarren la caluladora de windows, ponganla en modo "cientifico" y prueben lo que dice Homero xD
Interesante ''contraejemplo''...
Con respecto a lo que comentó thomas, no lo saqué de alguna fuente de internet, sino de un libro, apunte, llamado Aritmética, escrito por María Elena Becker y Carlos Sanchez, dos profesores del Dto. de matemática, donde indicaban unos teoremas ''curiosos'' en un capítulo de dicho libro, como el postulado de Bertrand, sucesiones de primos acotadas, el Teorema de Primos en Progresión Aritmética, y el Teorema de los números primos(sobre la aproximación de la función de Euler). No encontré nada concreto yo en internet sobre estos temas, pero espero que te sirva el nombre del libro. También el ''Teorema de los Números Primos en Progresión Aritmética'' se conoce como Teorema de Dirichlet sobre primos, pero buscarlo por este nombre va a ser peor, pues Dirichlet aportó en todos lados.
El teorema de Dirichlet es junto con Fermat, el teorema de Jordan (una curva continua cerrada que no se corta divide el plano en dos partes, una acotada y la otra no...) y un par más, fuertes contendientes al premio "demostración más rebuscada para enunciado más sencillo". Que yo sepa, hay que saber un poco de teoría de números y bastante de análisis complejo para demostrar el teorema de dirichlet.
A lo que iba; ya que estamos, les dejo otra cosa con primos de la forma 4k + 1. Supongamos que se tiene un número primo p. Demostrar que \(p \equiv 1 (4)\) si y sólo si existe un \(a\) tal que \(a^2 \equiv -1 (p)\). ¡Chan chan chan!. Obviamente, de estos también hay infinitos.
Yossarian, ¿por qué se usa análisis complejo para demostrar teoremas sobre enteros? No logro entender por qué se usan complejos para demostrar este tipo de teoremas.
Yossarian, ¿por qué se usa análisis complejo para demostrar teoremas sobre enteros? No logro entender por qué se usan complejos para demostrar este tipo de teoremas.
Es la pregunta del millón... La idea es así. Ponele que querés averiguar de cuántas formas se escribe un número entero \(n\) como suma de dos cuadrados... llamás a ese número \(a_n\). Una forma de estudiar eso, es armarte la serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n z^n\), que se llama la serie (no me acuerdo, generatriz, creo) de la sucesión \(a_n\). Ahora, el mejor lugar para estudiar las series de potencias son los complejos, por diversos motivos (por ejemplo, el radio de convergencia que uno ve en análisis 1, es un radio de convergencia en los complejos... eso explica que la serie de \(\frac{1}{1+x^2}\) tenga radio 1... la función se jode en \(i\), que está a distancia 1 del cero), así que se la estudia como función compleja, y una vez que la encontraste, hay diversas formas de calcular los términos \(a_n\) (con integrales complejas!), que eran los que originalmente te interesaban, o.O.
Un ejemplo "sencillo" (no usa complejo) es que como \((a+b)^n = (a+b)(a+b)...(a+b)\) n veces, entonces el número de veces que aparece el término \(a^kb^j, k+j = n\) en el resultado, es el número de formas en las que podés elegir \(a\) k-veces de entre n elementos, \(\binom{n}{k}\). De la simetría entre a y b uno deduce, por ejemplo, que \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\), que podía no ser obvia... fijate entonces que una "serie de potencias" te da un resultado de naturaleza combinatoria... ¡¡sin importar quiénes eran a y b!! Por otro lado, estudiando el binomio como función de a y b, podés averiguar cosas acerca de los coeficientes (por ejemplo derivando respecto de una de las variables, te sale la formulita de cómo construir el triángulo de pascal sumando dos números para conseguir el siguiente, etc O.o).
edit: probé los "contrejemplos" y por lo menos coinciden en las primeras nosecuantas cifras. Supongo que debe fallar en las cifras que no alcanza a mostrar la calculadora. Si no, Premio Nobel para homero XD.
Jajaja, no tenias q decirlo!
De todas formas, fuera de esto, Homero merece un premio nobel...
En cuanto a los numeros, la joda esta en que uno de los guionistas de los Simpson (antiguos, no los nuevos que dan asco) creo q tenia un doctorado en cs de la computacion o algo.. y se hizo un programita que generaba de estos numeros "casi" anti Fermat
Algo de propaganda para el software libre: la calculadora de GNOME responde
4472^12-4365^12-3987^12 = -1211886809373872630985912112862690
y
1922^12-1841^12-1782^12 = 700212234530608691501223040959
Jajaja, no tenias q decirlo!
De todas formas, fuera de esto, Homero merece un premio nobel...
En cuanto a los numeros, la joda esta en que uno de los guionistas de los Simpson (antiguos, no los nuevos que dan asco) creo q tenia un doctorado en cs de la computacion o algo.. y se hizo un programita que generaba de estos numeros "casi" anti Fermat
ufaaaa yo no me di cuenta que coincidian en los primeros digitos, y no me pude ilusionar!! jajaj porque en lugar de calcular
\(a^{12} + b^{12}\) y luego \(c^{12}\), directamente hice la operacion: \(a^{12} + b^{12} - c^{12}\), que debería dar cero, pero me daba un numero gigantesco!! jeje
en fin, muy interesantes estos temas :O
mira las cosas q me pongo a leer unas horas antes del parcial de algebraaa aaaaaaaaaaaaaa!! jajaj
