Quiero q me digan mas o menos la idea del ejercicio resolviendome el primero o explicandome.
$$sean\; a,b,c\; \in \mathbb{Z}\; tales\; que\; a^2+b^2=c^2.\; Probar \; que:$$
$$i)\;3|a \; o \; 3|b.$$
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[Resuelto] Practica 5 - Ejercicio 6
Acá va un bosquejo que espero que te sirva
\(\textrm{Para\;probar\;un\;''o'',\;lo\;que\;suele\;hacerse\;es\;usar\;la\;estructura\;logica\;:}\)
$$\;a\;\lor\;b\;\textrm{verdadero}\Leftrightarrow\textrm{a\;falso}\Rightarrow\textrm{b\;verdadero}$$
$$\textrm{En\;este\;ejercicio,\;luego,\;hay\;que\;probar:}$$
$$\ast3|\textrm{a}\;\lor\;3|\textrm{b}\Leftrightarrow3\nmid\textrm{a}\Rightarrow3|\textrm{b}$$
$$\textrm{Luego,\;}\textrm{a}\equiv1(3)\;\lor\;\textrm{a}\equiv2(3).\textrm{Luego...}$$
$$A)\textrm{a}\equiv1(3)\Rightarrow\textrm{a}^{2}\equiv1(3)$$
$$B)\textrm{a}\equiv2(3)\Rightarrow\textrm{a}^{2}\equiv4\equiv1(3)$$
$$\textrm{Veamos\;ahora\;que\;con\;c:}$$
$$\textrm{c}\equiv0(3)\Rightarrow\textrm{c}^{2}\equiv0(3)$$
$$\textrm{c}\equiv1(3)\Rightarrow\textrm{c}^{2}\equiv1(3)$$
$$\textrm{c}\equiv2(3)\Rightarrow\textrm{c}^{2}\equiv4\equiv1(3)$$
$$\textrm{Tomemos\;ahora\;congruencia\;modulo\;3\;de\;la\;expresion:}$$
$$A)\textrm{a}^{2}+\textrm{b}^{2}\equiv1+{b}^{2}(3)$$
$$A1)\;1+\textrm{b}^{2}\equiv0(3).\;\textrm{Probando\;con\;los\;tres\;casos\;posibles:}$$
$$\textrm{b}\equiv0(3)\Rightarrow\1+\textrm{b}^{2}\equiv1(3)$$
$$\textrm{b}\equiv1(3)\Rightarrow\1+\textrm{b}^{2}\equiv1+1\eq=2(3)$$
$$\textrm{b}\equiv2(3)\Rightarrow\1+\textrm{b}^{2}\equiv1+1\eq=2(3)$$
$$\textrm{Nota\;que\;no\;hay\;soluciones\;b\;modulo\;3.\;Luego\;no\;es\;posible\;}3\nmid\;\textrm{a}\;\textrm{en\;el\;caso}$$
$$\textrm{En\;realidad,}\;{a}^{2}+{b}^{2}\equiv0(3)\Leftrightarrow\;a\equiv0(3),\;b\equiv0(3)$$
$$\textrm{Por\;eso\;nos\;dio\;que\;no\;tenia\;solucion.}$$
$$A2)\;1+\textrm{b}^{2}\equiv1(3).\;\textrm{Probando\;con\;los\;tres\;casos\;posibles:}$$
$$\textrm(b)\equiv0(3)\Rightarrow\1+\textrm{b}^{2}\equiv1(3)$$
$$\textrm(b)\equiv1(3)\Rightarrow\1+\textrm{b}^{2}\equiv1+1\eq=2(3)$$
$$\textrm(b)\equiv2(3)\Rightarrow\1+\textrm{b}^{2}\equiv1+1\eq=2(3)$$
$$\textrm{Como\;unica\;manera\;de\;cumplir}A2),\;\textrm{es\;con}\;\textrm{b}\equiv0(3)\Leftrightarrow3|\textrm{b},\;\textrm{queda\;probado\;este\;caso}$$
$$\textrm{Observar\;que\;el\;caso\;restante,}B)\textrm{a}\equiv2(3)\Rightarrow\textrm{a}^{2}\equiv4\equiv1(3)$$
$$\textrm{Esto\;conduce\;a\;la\;ecuacion:}$$
$$B)\textrm{a}^{2}+\textrm{b}^{2}\equiv1+{b}^{2}(3)$$
$$\textrm{...que\;es\;la\;situacion\;analizada\;en}A),\;\textrm{y\;solo\;vale\;con:}\textrm{b}\equiv0(3)\Leftrightarrow3|\textrm{b}$$
\(\textrm{Luego\;esto\;es\;lo\;que\;queria\;probar}\;\Box\)
Explicó mejor el paso lógico: si querés demostrar que vale un ''o'', de valer, si vos negás una de las dos proposiciones, necesariamente la otra vale. Esto sucede debido a que el ''o'' vale si y solo si como mínimo uno de los dos vale. Es decir, si sabés, o conjeturás, que 3 divide alguno de los dos, lo hacés es mostrar que si uno no es divisible por 3, lo es el otro necesariamente. De igual manera hay que chequear las situaciones que no tienen solución como la que se presentó, aparte.
Espero que te haya servido. Saludos
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Editado 1 vez.
me vino perfecto este ejercicio.. no lo entendia como hacerlo! gracias por el post!!!
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Tremenda resolucion! La verdad no se me habria ocurrido analizar asi la logica del ejercicio. Tengo que plantearme seriamente el PENSAR antes de resolver, sino termino como siempre, con fuerza bruta =S
Nico? escribió:
sino termino como siempre, con fuerza bruta =S
yo termino siempre tratando de hacerlos por induccion.... pero tampoco... mi induccion es muy pensamiento cientifico xD
Felicitaciones Ric, que ya es "Estudiante" !
jajaja,si me contaste tu inducción o tu intento de probar el 1 del parcial con tablas de verdad,algo demasiado engorroso de hacer para lo q era realmente el ejercicio...igualmente me cayo a ver si todavia lo hice mal 🙄
Esta bueno ese dato sobre sos "o" 😉
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Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"
Editado 1 vez.
Yo lo hice de otra forma. No se si estará bien.
Primero tomé el resto de los dos lados. Me queda:
Posibles restos de div por 3 a c^2 = 0,1
Posibles restos de div por 3 a a^2 + b^2:
____b^2__0__1
a^2
0________0__1
1________1__2
Ahora me fijo cuando los posibles restos de C^2 son iguales a los posibles restos de a^2 + b^2.
Entonces, me fijo que cuando el resto de c^2 es 0, el resto de a^2+b^2 es cero y en la tabla se ve que a^2 es 0 y b^2 es cero. cuando el resto de c^2 es 1,resto de a^2+b^2 es 1 y se ve en la tabla que el resto de a^2 es cero y el resto de a es cero, por lo tanto 3 divide a a. Analogamente se ve que 3 divide a b.
(Me quedo medio confuso, no? voy a ver si mas tarde lo modifico.)
En realidad, lo que hiciste es muy parecido a lo que yo hice. La diferencia radica en dos puntos; el primero, la congruencia proporciona un lenguaje y una escritura más cómoda , mientras que con los restos es necesario trabajar un poco más; la segunda recide en que vos contaste todos los casos; como una tabla de verdad. También es totalmente válido, pero cuando el módulo del que tomás congruencia o resto crece, pensá que tenés muchos más casos...(en particular, crecen exponencialmente). Para evitar eso, en el mismo lenguaje de restos, vos podés negar una de las dos divisibilidades(pedir resto distinto de cero), y tenés que analizar la mitad de casos, como yo hice(esto es válido porque analizás un ''o''. Si el ''o'' es verdadero, si forzás a negar una de las dos prop., la otra debe ser verdadera. Si esto no vale, el ''o'' es falso).
Espero que te sirva esta aclaración
como se hace para probar cuando tenes como en el ejercicio 6 ii
2 "o"? refutás el 1ro y ves q pasa el 2do...refutas el 2do y ves q pasa el 3ro ,y refutas el 1ro y ves q pasa el 3ro? 😮 😮
en el 6iii...
me queda que son soluciones b cong 0 y b cong 2...=S
alguien lo puede chekear y postear la solución o algo?
Editado 1 vez.
Negás dos proposiciones, y ves que pasa con la tercera. En general, si tenés n proposiciones enlazadas con un ''o'', negas n-1 de las mismas, y ves que pasa con la que no negaste, y ves que es verdadera.
Es decir, en el ii), podés negar la divisivilidad de ''a'', de ''b'', y ves que pasa con ''c''.
Gente, para preguntar sobre otros ejercicios, hagan todo un post nuevo, asi las cosas no se mezclan =)
exequiel131719 escribió:
En realidad, lo que hiciste es muy parecido a lo que yo hice. ...
Clarísimo. Gracias!
Pape escribió:
como se hace para probar cuando tenes como en el ejercicio 6 ii
2 "o"? refutás el 1ro y ves q pasa el 2do...refutas el 2do y ves q pasa el 3ro ,y refutas el 1ro y ves q pasa el 3ro? 😮 😮
en el 6iii...
me queda que son soluciones b cong 0 y b cong 2...=S
alguien lo puede chekear y postear la solución o algo?
Hola! Soy nuevo por estos lados... a mi se me ocurrió hacerlo por tablas de restos pero no sé si estará bien (de paso alguien lo chequea y me dice si me tengo que cambiar a psicología).
Lo que hice fue fijarme cuales eran los posibles restos 5 (ej. 6ii) de cada miembro de la igualdad:
$${c}^{2} = \{ {0,1, 4 \}}$$
Y después me puse a ver que pasaba con el otro miembro de la ecuación, es decir, cuando la suma de los dos cuadrados daba o: 0, 1, 4.
Supongamos que hice la tabla de restos que vincula (a cuadrado y b cuadrado) y supongamos que está bien, entonces tengo que:
\({c}^{2} \equiv0 (5)\) Y esto pasa si: \(5\mid a, 5 \mid b, 5\mid c\)
$$\textrm{veamos...} 0+0 \equiv 0(5)$$
$$1+4 \equiv0 (5) \Rightarrow 5\nmid a, 5\nmid b, 5\mid c$$
$$4+1 \equiv0 (5) \Rightarrow 5\nmid a, 5\nmid b, 5\mid c$$
$$\textrm{ahora que pasa si...} {c}^{2}\equiv1 (5)$$
$$0+1 \equiv1(5) \Rightarrow 5\mid a, 5\nmid b, 5\nmid c$$
$$1+0 \equiv1(5) \Rightarrow 5\nmid a, 5\mid b, 5\nmid c$$
$${c}^{2} \equiv 4(5)$$
$$0+4 \equiv4(5) \Rightarrow 5\mid a, 5\nmid b, 5\nmid c$$
$$4+0 \equiv4(5) \Rightarrow 5\nmid a, 5\mid b, 5\nmid c$$
Tal vez si hay más posibles restos y esas cosas sea más complicado de ver y haya muchos más casos y sea mejor lo de negar las proposiciones del "o" cosa que no me di cuenta como hacer. Para mí hací (si es que está bien...) salía fácil.
Saludos y muy buena idea la del foro este! Felicitaciones!
Juan.
Editado 1 vez.
Gracias por colaborar!
MUCHISIMAS GRACIAS, Aunque me quedo una duda exequiel..
cuando vos llegas a la conclusion diciendo q \(Solo\;vale\;con\;B \equiv 0\;(3)\)
No tenes q aclarar tambien q \(C\equiv 1\;(3)\) ????
saludos
En realidad no, porque fijate que obtenés en \({c}^{2}\equiv0(3)\) que no hay solución de b, porque pedís \({a}^{2}\equiv1(3)\)(es decir, la no divisibilidad de a por 3). Si no pidieras esta condición, podés ver que si
$$a\equiv0(3),\;b\equiv0(3)\Rightarrow\;{a}^{2}+{b}^{2}\eq={c}^{2}\equiv0(3)$$
Es decir, la demostración te dice que no tiene sentido esa situación puesto que partí de la hipótesis que ''a'' no fuera divisible por 3. De igual manera está bien la pregunta que hiciste; lo voy a aclarar en la demostración. Gracias.