Esto es lo mismo que el ejericio anterior, pero al reves, se que 2^k es congruente con 8 ( mod 31) y en el ejercicio anterior teniamos un k que tenia resto 3 cuando se dividia por 5, lo mismo aca, el resto tiene que ser 3 =P
$$\bullet \bullet \bullet \bullet ) \textrm{ Hallar el resto de la division de } 43 \cdot {2}^{163} + 11 \cdot {5}^{221} + {61}^{999} \textrm{ por 31 }$$
Ok, este ejercicio es hincha bolas. Es basicamente aplicar varias veces lo anterior, vamos por partes:
Ok, el 5 necesita un razonamiento aparte. Lo que busco es que pase algo como con el 2, encontrar una potencia de 5 que sea congurente a 1 (mod 31) y entonces lo multiplos de esas potencias, seran congruentes a 1:
$$5 \equiv 5 (31)$$
$$25 \equiv 3 (31)$$
\(125 \equiv 1 (31)\) <-- listo, me quedo con 5^3 = 125
En el tercer ejercicio, habría que aclarar un poco más por qué k = 3 es la única solución. Hay que usar lo que dijiste antes, de que \(2^5 \equiv 1 (32)\); escribiendo \(k = 5q + r_5(k)\), se ve que \(2^k \equiv 2^{r_5(k)} (31)\), y entonces habría que hacer la prueba a mano, en los cinco casos (resto igual 0, 1, 2, 3, 4). Hacés la cuenta y da que 3 es la única solución (en lo que pusieron arriba, nunca descartaron que podría haber otras soluciones). Saludos.
