$$\textrm{Determinar, cuando existan, todos los $a,b \in \mathbb{Z}$ que satisfacen:}$$
$$i)5a+8b=3$$
\((5:8)=1|3 \sqrt\)
$$\textrm{Busco una solucion particular:}$$
$$5 \cdot (-9) + 8 \cdot 6 = 3$$
$$\textrm{Busco las soluciones del homogeneo asociado:}$$
$$5a+8b=0$$
$$5a=-8b$$
$$\textrm{Por un lado:}$$
$$5|8b \Rightarrow como 5 \perp 8, 5|b \Rightarrow 5k=b$$
$$8|5a \Rightarrow como 5 \perp 8, 8|a \Rightarrow 8q=a$$
$$\textrm{Ahora, reemplazando:}$$
$$5 \cdot 8q=-8 \cdot 5k$$
$$q=-k \Rightarrow a=-8k, b=5k, k \in \mathbb{Z}$$
$$\textrm{Las soluciones son entonces:}$$
\((-9,6)+(-8k,5k)\)
$$v)39a-24b=6$$
\((39:24)=(15:24)=(15:9)=(6:9)=(6:3)=3|6 \sqrt\)
Dividiendo por 3:
$$13a-8b=2$$
Por si no llegan a darse cuenta como sacar una solucion particular a ojo, dejo el ejericicio hecho con el algoritmo de Euclides:
$$(13:8)=(5:8)=(5:3)=(2:3)$$
Entonces tengo:
\(13=8 \cdot 1 +5\) con 5 q es el resto
$$8=5 \cdot 1 +3$$
$$5=3 \cdot 1 +2$$
$$3=2 \cdot 1 +1$$
Despejando los restos en cada ecuacion:
$$1=3+(-1) \cdot 2$$
$$2=5+(-1) \cdot 3$$
$$3=8+(-1) \cdot 5$$
$$5=13+(-1) \cdot 8$$
Empezando por la ultima ecuacion y reemplazando, tengo:
$$1=3+(-1) \cdot 2 = 8+(-1) \cdot 5 +(-1) \cdot (5+(-1)\cdot3) =...$$
y asi hasta q llegan a \(1 = 5 \cdot 8 - 3 \cdot 13\)
Multiplicando miembro a miembro:
$$\Rightarrow 2=10\cdot 8+ (-6) \cdot 13$$
Entonces la solucion particular es: \((-6,-10)\)
$$\textrm{Busco las soluciones del homogeneo asociado:}$$
$$13a-8b=0$$
$$13a=8b$$
$$\Rightarrow 13|8b \Rightarrow \textrm{como }13\perp 8, 13|b \Rightarrow 13k=b$$
$$\Rightarrow 8|13a \Rightarrow \textrm{como }13\perp 8, 8|a \Rightarrow 8q=a$$
$$13 \cdot 8q=13 \cdot 8 k$$
$$q=k \Rightarrow a=8k, b=13k, k \in \mathbb{Z}$$
Las soluciones son: \((-6,-10)+k(8,13)\)
$$\left\{\begin{matrix}a=-6+8k \\ b=-10+13k \end{matrix}$$
$$vi)1555a-300b=11$$
\((1555:300)=(55:300)=(55:25)=(5:25)=5\not| 11\)
\(\Rightarrow \textrm{No tiene soluciones.}\)
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