(14) Hallar todos los primos positivos p tales que \(p | 2^p+5\)
\(\textrm{ Veamos que $p\,|\,2^p+5 \Leftrightarrow 2^p+5\equiv0\,(p)\Leftrightarrow{r}_{p}(2^p+5)=0$ }\)
$$\textrm{ Como $2\equiv2\,(p)\Rightarrow2^p\equiv2^p\,(p)$. }$$
$$\textrm{ Sabemos que $p\not|\,2$, pues si p es primo, entonces $p=2$, pero si }$$
$$\textrm{ reemplazamos en $p\,|\,2^p+5$, nos queda que $2\,|\,2^2+5$, lo que es }$$
$$\textrm{ absurdo. }$$
$$\textrm{ Entonces, aplicando la propiedad del PTF, como $p\not|\,2$, entonces}$$
$$p\equiv{r}_{p-1}(p)\,(p-1)\Rightarrow2^p\equiv2^{{r}_{p-1}(p)}(p)$$
$$\textrm{ ${r}_{p-1}(p)=1$ pues $p\geq3$ }$$
$$p\equiv1\,(p-1)\Rightarrow2^p\equiv2^1(p)\Rightarrow2^p+5\equiv2+5\,(p)$$
$$2^p+5\equiv7\,(p) \Rightarrow p|2^p+5-7=2^p-2$$
$$\textrm{$\Rightarrow$ Como $p|2^p-2\,\land\,p|2^p+5 \Rightarrow p|2^p-2-2^p-5$}$$
$$\textrm{ $\Rightarrow p|-7 \Rightarrow p|7 \Rightarrow p=7$ }$$
\(\textrm{ \mathbf{Respuesta:} $p=7$ }\)
Bueno, espero que haya servido.. Mañana posteo otro si tengo tiempo.
Saludos!! 😉
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