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Tema

[A Resolver] Práctica 2- Ejercicio 2 Parte B

4 respuestas 6709 visitas
#1 andres_f

Hola tenia una consulta sobre este ejercicio:

$$Probar\, que, \, \forall{n}\:\in{N} }, 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$$
$$B)\: Usando \:,que \: 1 + 2 + 3 + ... + (n-2)+(n-1) + n = \begin{bmatrix}1+n\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2+(n-1)\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}3+(n-2)\end{bmatrix}+...$$

La primera parte o sea \(1 + 2 + 3 + ... + (n-2)+(n-1) + n\) es igual a \(\frac{n(n+1)}{2}\), pero nose como seguir la demostracion, y no se que significado tienen los corchetes ahi...

Gracias.

#2 Quimey

Fijate que cada corchete suma n+1

Firma

Quimey

#3 Don Equis

Cuando Gauss debió sumar los números del \(1\) al \(100\), según se dice, agrupó las sumas del siguiente modo:

$$100 + 1 = 101$$
$$99 + 2 = 101$$
$$98 + 3 = 101$$
$$...$$

Es decir, sumó el primer término y el último, el segundo y el anteúltimo, y así sucesivamente. Luego observó que tenía \(50\) de estos términos, deduciendo que \(1+2+3+...+100 = 101 \cdot 50 = 5050\). De forma análoga, y considerando si \(n\) es par o impar, deduce una fórmula general (o deduce que es la que tienes expresada).

#4 andres_f

Hola. Gracias por la ayuda. Igual nose si esta bien lo que hice lo posteo por las dudas..

Yo se que

$$1+2+3+4+...+(n-2)+(n-1)+n\, = \begin{bmatrix}1 + n\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2 + (n-1)\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}3 + (n-2){\end{bmatrix}$$

Pero esto solo sucede sii

$$1+2+3+4+...+(n-2)+(n-1)+n\, = \sum_{i=1}^{n/2}\begin{bmatrix}i + (n - i + 1)\end{bmatrix}{$$

Separo las sumatoria por las propiedades de sumatoria

$$\frac{n(n+1)}{2} = \sum_{i=1}^{n/2}{i} + n\sum_{i=1}^{n/2}{1} - \sum_{i=1}^{n/2}{i} + \sum_{i=1}^{n/2}{1}$$

Simplifico y calculo la sumatoria

$$\frac{n(n+1)}{2} = n\sum_{i=1}^{n/2}{1} + \sum_{i=1}^{n/2}{1}$$
$$\frac{n(n+1)}{2} = n(\frac{n}{2}) + \frac{n}{2}$$
$$\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$$
#5 Quimey

Esta mas o menos bien la idea, el problema es que está mal escrito. Ademas no separas el caso par e impar. Fijate que si n=3 te queda en una parte \(\sum_{i=1}^{1.5}\) cual es el sentido de eso?