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Tema

[No Resuelto]-Práctica 2-Ej. 14 iii) (2005)

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#1 Mr. Satán

Hallar el término general y demostrar su validez:

$$a_{1}=2\ \ \ a_{n+1}=2\ a_{n}+1$$

Calculé los primeros términos:

$$a_{2}=2\ a_{1}+1=2.2+1=5$$
$$a_{3}=2\ a_{2}+1=2.5+1=11$$
$$a_{4}=2\ a_{3}+1=2.11+1=23$$
$$a_{5}=2\ a_{4}+1=2.23+1=47$$
$$a_{6}=2\ a_{5}+1=2.47+1=95$$

No se me ocurre nada para \(a_{n}\) Alguna sugerencia?

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#2 exequiel131719
$${a}_{3}\eq=2{a}_{2}+1=2(2{a}_{1}+1)+1\eq= 4{a}_{1}+3\eq={2}^{3}+3\eq={2}^{3}+{2}^{2}-1$$
$${a}_{4}\eq=2{a}_{3}+1=2(4{a}_{1}+3)+1=8{a}_{1}+7\eq={2}^{4}+7\eq={2}^{4}+{2}^{3}-1$$
$${a}_{5}\eq=2{a}_{4}+1=2(8{a}_{1}+7)+1=16{a}_{1}+15\eq={2}^{5}+15\eq={2}^{5}+{2}^{4}-1$$
O sea, \({a}_{n}\eq={2}^{n}+{2}^{n-1}-1\) debería ser el candidato(si no hice algua cuenta mal. Si la hice, creo que esto muestra cómo enontrar el candidato) Espero que sirva. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#3 Mr. Satán

Gracias exequiel! , sirvió y es válida