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Tema

[A Resolver] Práctica 1- Ejercicio 12 c) iv) (2005)

3 respuestas 6354 visitas
#1 Mr. Satán
$$(A\bigtriangleup B)\times C=(A\times C)\bigtriangleup (B\times C)$$
$$Sea\ (x_{1};x_{2})\ \in\ (A\bigtriangleup B)\times C$$
$$\Longleftrightarrow \ x_{1}\ \in \ (A\cap B^{c})\cup (B\cap A^{c})\ \ \wedge \ \ x_{2}\ \in \ C$$
$$\Longleftrightarrow \ (x_{1}\ \in \ A\ \wedge \ x_{1}\ \in \ B^{c}\ \wedge \ x_{2}\ \in \ C)$$
$$\vee \ (x_{1}\ \in \ B\ \wedge \ x_{1}\ \in \ A^{c}\ \wedge \ x_{2}\ \in \ C)$$
$$\Longleftrightarrow \ (x_{1}\ \in \ A\ \wedge \ x_{2}\ \in \ C)$$
$$\vee\ (x_{1}\ \in \ B\ \wedge \ x_{2}\ \in \ C)$$
$$\Longleftrightarrow \ (x_{1};x_{2})\ \in\ (A\times C)\cup (B\times C)$$

Pero no se que hacer para relacionar los complementos...

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#2 Yossarian

El penúltimo si y solo si está mal. Fijate que dejaste de lado la condición de que \(x_1\) no esté en el otro conjunto.

PD: Si bien es "formalmente" correcta, esa forma de escribir es molesta de leer y por lo tanto de corregir o entender. Es preferible que escribas frases explícitas, salvo cuando lo escribas para vos.

#3 crazy2k

Voy para un lado. El otro lo demuestro mañana. Ahora me da fiaca 🙂

Sea \((x,y) \in (A \bigtriangleup B) \times C \Rightarrow x \in A \bigtriangleup B \wedge y \in C\)

$$\Rightarrow x \in A \cup B \wedge x \in (A \cap B)^c \wedge y \in C$$
$$\Rightarrow x \in A \cup B \wedge x \in (A^c \cup B^c) \wedge y \in C$$
$$\Rightarrow (x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in A^c \vee x\in B^c) \wedge y \in C$$
$$\Rightarrow ((y \in C \wedge x \in A) \vee (y\in C \wedge x \in B)) \wedge (x \in A^c \vee x \in B^c)$$
$$\Rightarrow ((x,y) \in A \times C \vee (x,y) \in B\times C) \wedge (x \in A^c \vee x \in B^c)$$
$$\Rightarrow ((x,y) \in (A \times C) \cup (B \times C)) \wedge (x \in A^c \vee x \in B^c)$$
$$\Rightarrow ((x,y) \in (A \times C) \cup (B \times C)) \wedge (x \in A^c \vee x \in B^c \vee y \in C^c \vee y \in C^c)$$
$$\Rightarrow ((x,y) \in (A \times C) \cup (B \times C)) \wedge ((x \in A^c \vee y \in C^c) \vee (x \in B^c \vee y \in C^c))$$
$$\Rightarrow ((x,y) \in (A \times C) \cup (B \times C)) \wedge (((x,y) \in (A \times C)^c) \vee ((x,y) \in (B \times C)^c))$$
$$\Rightarrow ((x,y) \in (A \times C) \cup (B \times C)) \wedge ((x,y) \in (A \times C)^c \cup (B \times C)^c)$$
$$\Rightarrow ((x,y) \in (A \times C) \cup (B \times C)) \wedge ((x,y) \in ((A \times C) \cap (B \times C))^c)$$
$$\Rightarrow ((x,y) \in (A \times C) \bigtriangleup (B \times C)$$

Sólo usé la propiedad "distributiva" entre conjunciones y disyunciones, y la ley de De Morgan, además de las definiciones, claro.

Cualquier error avisame. Mañana pruebo hacer la vuelta.

#4 Mr. Satán

Yossarian escribió:

El penúltimo si y solo si está mal. Fijate que dejaste de lado la condición de que \(x_1\) no esté en el otro conjunto.

PD: Si bien es "formalmente" correcta, esa forma de escribir es molesta de leer y por lo tanto de corregir o entender. Es preferible que escribas frases explícitas, salvo cuando lo escribas para vos.

Gracias Yossa por este comentario.....no tenía idea de que eran molestas de leer o entender, siempre me pareció

la forma más cómoda, pero un poco incompleta quizás. A tener en cuenta! 😄

Y gracias crazy2k por la ida de la demo....si llego mañana subo la vuelta para que la vean haber si tiene errores, etc.